Mean field applications to macroeconomics

This thesis aims to give an introduction to the Mean-Field games (here and after MFGs), a branch of game theory that has its roots in the paper "Mean field games" written in 2007 by Lasry J-M and Lions P-L. This theory finds its basis in Statistical Mechanics and Physics, specifically in particles problems, where it is infeasible to model the dynamics of each single particle considering the huge number of particles involved and taking into account all the inter-particle interactions. Hence, the idea is to approximate the infinite number of interactions by introducing one or more mean-fields: Mean-Field Theory.The authors in their article show how this approach can be applied to many modelling issues in several fields of study. In our work, we first present the general structure of this type of models, which has at its core a system of two coupled equations: Hamilton-Jacobi-Bellman and Fokker-Planck equations. In order to be able to build such models, we give the necessary definitions and theorems. Then, we show the power and adaptability of this type of models reporting some examples from different fields of application. Eventually, we introduce the most interesting one, which is presented in the article "Income and Wealth Distribution in Macroeconomics: A Continuous-Time Approach" [1], Achdou, Han, Lasry, Lions, Moll (2017). This model is a continuous-time version of the discrete Aiyagari-Bewley-Huggett model and represents the basis for further work on the field of heterogeneous agents model, which constitute one of the most interesting field of applications of the Mean-Field Games theory. The contributions of Achdou, Han, Lasry, Lions, Moll (2017) are manifold, we will focus on the many advantages to apply the Mean-Field Game to the many different applications.

Questa tesi ha lo scopo di introdurre i “Mean-Field games” (da qui in poi MFGs), una branca della teoria dei giochi che ha origine dall’articolo “Mean field games” scritto nel 2007 da Lasry J-M e Lions P-L. Questa teoria trova le basi in Meccanica Statistica e Fisica, in particolare in problemi in cui sono coinvolte particelle, in cui non è possibile modellizzare la dinamica di ogni singola particella considerando l’immenso numero di particelle coinvolte e tenendo in considerazione tutte le interazioni tra particelle. Quindi, l’idea è quella di approssimare l’infinito numero di interazioni introducendo uno o più mean-fields: da qui Mean-Field theory. Nel loro articolo, gli autori mostrano come questo approccio possa essere applicato a molti problemi di modellizzazione in diversi ambiti di studio. Nel nostro lavoro, presentiamo la struttura generale di questo tipo di modelli, che ha come elemento cardine un sistema di due equazioni accoppiate: l’Hamilton-Jacobi-Bellman e la Fokker-Planck. Riportiamo poi le definizioni e i teoremi necessari per poter costruire questo tipo di modelli e ne mostriamo la potenza e la versatilità tramite la spiegazione di alcuni esempi da diversi tipi di applicazioni. Infine, introduciamo un modello di particolare interesse, che è stato presentato nell’articolo "Income and Wealth Distribution in Macroeconomics: A Continuous-Time Approach" [1], Achdou, Han, Lasry, Lions, Moll (2017). Questo modello è la versione a tempo continuo del modello di Aiyagari-Bewley-Huggett e rappresenta la base per ulteriore lavoro nel campo dei modelli su agenti eterogenei, che risultano una delle più interessanti applicazioni della teoria dei Mean-Field Games. I contributi del lavoro di Achdou, Han, Lasry, Lions, Moll (2017) sono molteplici, noi ci soffermeremo sui numerevoli vantaggi di applicare i Mean-Field Games a tante applicazioni diverse.