Asian option pricing in gamma-OU models driven by Hawkes processes

The thesis faces the problem of pricing Asian options in gamma Ornstein-Uhlenbeck models driven by Hawkes processes (Gamma-OUH). Asian options are popular derivatives instruments used for hedging strategy against sudden market price manipulations. Indeed, their payoff depends on the average price over time of the underlying. This is particularly useful in commodity markets to hedge against price changes over the delivery period. The Gamma-OUH model is an extension of the classic Barndorff‐Nielsen and Shephard model, where the introduction of a self-exciting jumps process allows to model the jump clustering phenomena. This extension improves model flexibility, indeed this model can fit upward shaped implied volatility smile, like the one of options written on VIX. The aim of the thesis is to extend the applicability of an Asian option pricing method, present in literature for stochastic volatility models and jump-diffusion Hawkes-driven affine models, to the Gamma-OUH. In the introduction, Asian options contracts are presented. Then a brief overview of the literature about stochastic models for underlying dynamics and Asian option pricing techniques are shown. An index of the thesis closes the introduction. In Chapter two, Hawkes processes are presented. These point processes are used to model jumps arrival time in the risky asset price. Hawkes processes are characterized by the self-exciting property. This means that the arrival of a jump impacts positively on the intensity, i.e. the instantaneous probability of further jumps. Specifically, the Gamma-OUH model uses marked Hawkes processes with exponential kernel. So, the intensity undergoes a sudden increase after a jump arrives, proportional to the jump size, and then it decreases back to a base intensity with exponential behaviour. This property models the phenomenon of jumps clustering. In chapter three Hawkes processes are used to define Gamma-OUH model as an extension of the Barndorff‐Nielsen and Shephard model. One of the main limits of the original model is that it does not consider the jump clustering phenomenon. However, it has been observed in market studies that sudden market movements give birth to turbulence periods, where further sudden movements are more likely to happen. Then, the Gamma-OUH model solves this limit by describing jump arrivals with a Hawkes process. This allows to properly model jumps clusters. After giving a precise definition of the model, the joint characteristic function (CF) of log prices and jump arrival intensity is presented, although its characteristic functionals are known only as ordinary differential equations (ODE) solutions. It is possible to define this joint CF, without the stochastic volatility process, because this model binds with a deterministic relationship stochastic volatility and jump arrival intensity. Finally, some properties of the model and a simulation scheme for log prices are presented. The next chapter presents an efficient technique for Asian option pricing in stochastic volatility and jump-diffusion Hawkes-driven affine models. Affine processes and their properties are presented. In particular, if the log prices and intensity constitute an affine process, their joint CF can be extended to the joint CF of these two processes and their integrals over time. Then, the CF of average log prices over time is known. This is a key process, as the payoff of geometric Asian fixed strike options can be expressed as a function of it. Also the average strike payoff can be expressed in function of an auxiliary stochastic process, whose CF can be obtained. Then it is necessary to apply the COS method: an efficient algorithm for the inversion of CFs into probability density functions. As the characteristic functionals are known only as ODE solutions, these ODEs are solved numerically. This method requires first, second and fourth cumulants, too. An innovative approach is used to obtain them analytically, although the CF is not known in closed-form. Finally, the Monte Carlo approach with control variable is presented for the pricing of arithmetic Asian options. The strong correlation between geometric and arithmetic options allows to use successfully the geometric option prices as control variables. My contribution to the literature consists of extending the application of these techniques to the gamma Ornstein-Uhlenbeck model driven by a Hawkes process. In chapter five, I present first how to price European option in the Gamma-OUH model, mainly based on applying the COS method inversion technique to the log prices CF. I also present the formula of log price process analytical cumulants, necessary to implement the COS method. This is fundamental for the calibration. Indeed, after choosing data on the base of traded volume, as more liquid products have more reliable prices, the model parameters are set, by forcing the model prices to match as much as possible real market prices. Then, the geometric Asian option pricing technique is presented. The CFs for the auxiliary processes are derived, and from this CFs, their cumulants are computed analytically. I show the derivation methodology, giving the formulas of the first order linear ODE, and the final closed-form equations of the cumulants of both auxiliary processes. Finally, the COS method allows to retrieve the probability density function of the auxiliary processes, and integrating numerically the option payoff against the probability density function geometric Asian options prices are obtained. In chapter six, numerical results of a case study are presented. First, the data set is defined selecting the most liquid European call option prices quoted on the market and a calibration of the model is performed. The employed model outperforms other models, when comparing their implied volatility smile and term structure, as it better fits the market implied volatility. Then, I present the algorithms necessary for the pricing of geometric fixed and average strike options. Applying them, I obtain the probability density function of the auxiliary processes and plot them. Then, I present the Monte Carlo algorithm with control variable, to price arithmetic Asian options, and the obtained prices. Finally a numerical analysis is carried out. The prices obtained with the COS method falls within the confidence intervals retrieved from the Monte Carlo method, when using fine time grids. Moreover the arithmetic prices confidence intervals are way tighter even with a lower number of run simulations, thanks to the effect of the control variable. The CF inversion approach is a lot faster than the Monte Carlo approach. Moreover, the cumulants computed analytically match with the numerical estimation.

La tesi affronta il problema di stabilire il prezzo di opzioni asiatiche in un modello gamma Ornstein-Uhlenbeck guidato da un processo di Hawkes (Gamma-OUH). Le opzioni asiatiche sono strumenti derivati ampiamente utilizzati per strategie di copertura contro cambi improvvisi di prezzo. Infatti, il loro payoff dipende dal prezzo medio del sottostante nel tempo. Ciò è particolarmente utile nel mercato delle materie prime per coprirsi da cambi di prezzo nel periodo di delivery. Il modello Gamma-OUH è un'estensione del modello Barndorff-Nielsen & Shephard, dove l'introduzione di salti auto-eccitanti permette di modellare i cluster di salti. Questa estensione rende il modello più flessibile, infatti riesce a fittare mercati in cui l'implied volatility smile è crescente, come quello delle opzioni sul VIX. L'obiettivo della tesi è quello di estendere l'applicabilità di un metodo per prezzare opzioni asiatiche, presente in letteratura per modelli a volatilità stocastica e jump-diffusion guidati da processi Hawkes, al modello Gamma-OUH. Nell'introduzione, illustro cosa siano le opzioni asiatiche. Quindi propongo una breve overview della letteratura dei modelli stocastici per la dinamica dei sottostanti e di alcune tecniche per prezzare le opzioni asiatiche. L'indice chiude l'introduzione. Nel capitolo due, i processi di Hawkes sono presentati. Questi processi di punti sono usati per modellare il tempo di arrivo dei salti nel prezzo del sottostante. I processi di Hawkes sono caratterizzati dalla proprietà di auto eccitazione. Ciò significa che l'arrivo di un salto impatta positivamente sull'intensità, la probabilità istantanea di altri salti. Più precisamente, il modello Gamma-OUH usa processi di Hawkes segnati con nucleo esponenziale. Quindi, l'intensità cresce improvvisamente dopo l'arrivo di un salto, proporzionalmente alle dimensioni del salto, e poi decresce esponenzialmente verso un livello di base. Questa proprietà modella il fenomeno del cluster di salti. Nel capitolo tre, i processi di Hawkes vengono impiegati per definire il modello Gamma-OUH come estensione del modello di Barndorff‐Nielsen e Shephard. Uno dei principali limiti di questo modello è che non considera il fenomeno di clusterizzazione dei salti. Tuttavia, questo è stato osservato sui mercati: improvvisi movimenti di mercato inducono periodi di turbolenza nei quali ulteriori scossoni sono più probabili. Quindi, il modello Gamma-OUH risolve questo limite descrivendo l'arrivo dei salti con un processo di Hawkes. Ciò permette di modellare propriamente il fenomeno di clusterizzazione. Dopo aver definito con precisione il modello, la funzione caratteristica (CF) congiunta di log prices e intensità è introdotta, nonostante i suoi funzionali caratteristici siano noti solo come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (ODE). Si può definire la CF senza includere il processo di volatilità stocastica perchè questa è legata deterministicamente all'intensità. Infine, alcune proprietà del modello e lo schema di simulazione dei log price sono presentati. Il seguente capitolo presenta un'efficace tecnica per prezzare le opzioni asiatiche in modelli affini a volatilità stocastica e jump-diffusion guidati da processi Hawkes. I processi affini e le loro proprietà vengono introdotti. In particolare, se log price e intensità formano un processo affine, la loro CF congiunta può essere estesa alla CF congiunta di questi due processi e dei loro integrali nel tempo. Quindi, la CF del prezzo medio è nota. Questo è un processo fondamentale, in quanto il payoff delle opzioni geometriche asiatiche fixed strike può essere espresso in funzione di ciò. Anche il payoff del caso con average strike può essere espresso in funzione di un processo stocastico ausiliario. Quindi è necessario applicare il metodo COS: un algoritmo per l'inversione delle CF in densità di probabilità. Dato che i funzionali caratteristici sono noti solo come funzioni di ODE, queste equazioni vengono risolte numericamente. Il metodo COS richiede inoltre primo, secondo e quarto cumulante. Un approccio innovativo è usato per ottenerli analiticamente, nonostante la CF non sia conosciuta in forma chiusa. Infine, un approccio Monte Carlo con control variable è introdotto per prezzare le opzioni asiatiche aritmetiche. La forte correlazione tra opzioni geometriche e asiatiche permette di usare efficacemente il prezzo delle opzioni geometriche come control variable. Il mio contributo alla letteratura consiste nell'estendere l'applicazione di queste tecniche al modello Gamma-OUH. Nel capitolo cinque, spiego come prezzare opzioni europee con questo modello. Il metodo si basa principalmente sull'applicazione del metodo COS alla CF dei log price. Inoltre presento la formula dei cumulanti analitici dei log price, necessari per implementare il metodo COS. Questo è fondamentale per la calibrazione. Infatti, dopo aver definito il data set scegliendo le opzioni più scambiate, in quanto prodotti più liquidi hanno prezzi più affidabili, i parametri del modello sono fissati, forzando i prezzi del modello a combaciare con quelli di mercato. Poi, le tecniche per prezzare le opzioni geometriche vengono presentate. Le FC dei processi ausiliari sono derivate, e da queste i cumulanti sono calcolati analiticamente. Mostro il processo di derivazione, le equazioni delle ODE lineari del primo ordine e le formule finali dei cumulanti dei processi ausiliari. Infine, il metodo COS permette di ottenere la densità di probabilità di entrambi i processi, e integrando numericamente il payoff delle opzioni contro le densità di probabilità ottengo i prezzi delle opzioni asiatiche geometriche. Nel capitolo sei vengono mostrati i risultati numerici di un case study. Prima, il data set è composto con i prezzi delle call europee più liquide quotate sul mercato e viene svolta una calibrazione del modello. Il modello utilizzato supera gli altri in quanto a capacità di fittare il mercato, come emerge dal confronto di smile e struttura per scadenza dell'implied volatility. Dopodiché, presento gli algoritmi per prezzare le opzioni geometriche. Applicandoli al case study, si ottengono le densità di probabilità dei processi ausiliari e ne viene mostrato il grafico. Quindi, introduco l'algoritmo per il metodo Monte Carlo con control variable per prezzare le opzioni asiatiche aritmetiche. Analizzando i risultati, si nota che i prezzi ottenuti con il metodo COS cadono all'interno degli intervalli di confidenza del Monte Carlo, per griglie temporali sufficientemente fini. Inoltre, gli intervalli di confidenza delle aritmetiche sono molto più stretti anche a fronte di un minor numero di simulazioni, grazie all'effetto della control variable. Il metodo di inversione della CF è inoltre molto più veloce del Monte Carlo. Peraltro, i cumulanti calcolati analiticamente combaciano con le stime numeriche.