An affine mortality model for epidemics based on continuous branching processes with immigration

Mortality is traditionally modeled deterministically, for instance by assuming suitably parametrized analytical models. However, recent mortality trends have proved to be particularly challenging to model and the pricing of contracts providing long-term living benefits have called for more effective approaches. In this thesis work, I will discuss the main properties of a relatively simple stochastic model called alpha-JCIR and its application to mortality modelling. This model not only captures the long term historical trends like rectangularization and increase in longevity but also the rise of a new virus and the sequence of epidemic wave. The alpha-JCIR model is an extension of the well-known Cox-Igersoll-Ross by adding an alpha-stable Lévy branching process and a Poisson jump term. The calibration of the model is performed in two independent steps, one for the Poisson jump component and one for the alpha-CIR parameters. In particular, the main contribution of this thesis consists in the code implementation and in the solution of many numerical issues related to the generalized method of moments procedure for the alpha-CIR parameter estimation. This approach combines the features of method of moments estimation with the efficiency of the maximum likelihood estimator (MLE) and can be applied to models for which the conditional moment generating function is known while the transition density it is not, just like the alpha-CIR. The thesis work is organized as follows: - In the first chapter I'll introduce the main challenges and ideas of stochastic mortality modelling; - In the second chapter I'll discuss the theoretical background of the alpha-JCIR model and its main properties; - In the third chapter I'll review the features of the data set available; - In the fourth chapter I'll first describe the parameter estimation procedure, then I'll provide the pseudo code of the calibration algorithm and as last I'll comment on the parameter estimation results; - In the fifth chapter I'll describe the simulation technique for both the alpha-CIR and the alpha-JCIR models and comment on the calibrated model trajectories. - In the sixth chapter, I'll summarize the main results of the thesis work and I'll discuss future developments.

Il tasso di mortalità è storicamente modellizzato in modo deterministico, utilizzando ad esempio un opportuno modello parametrico. Tuttavia, i recenti trend di mortalità si sono dimostrati particolarmente ostici da rappresentare e la necessità di prezzare contratti di tipo attuariale ha spinto per l'introduzione di nuovi e più efficaci approcci di modellizzazione. In questo lavoro di tesi discuterò le principali proprietà di un modello stocastico chiamato alpha-JCIR e la sua applicazione alla modellizzazione del tasso di mortalità. Tale modello non solo cattura i tradizionali trend storici di mortalità come la rettangolarizzazione e l'incremento di longevità, ma anche la comparsa di un nuovo virus e le possibili conseguenti ondate epidemiche. Il modello alpha-JCIR è una estensione del noto modello di Cox-Igersoll-Ross tramite l'aggiunta di un processo di Lévy alpha-stabile e un termine di salto di Poisson. La calibrazione del modello è effettuata in due step indipendenti, uno per i parametri alpha-CIR e uno per la componente di salto di Poisson. In particolare, il principale contributo di questa tesi consiste nell'implementazione del metodo dei momenti generalizzato per la stima dei parametri alpha-CIR e nella soluzione dei relativi problemi numerici. Questo approccio combina le caratteristiche del metodo dei momenti con l'efficienza dell'estimatore di massima verosimiglianza e può essere applicato a modelli per cui la funzione generatrice dei momenti è nota mentre la densità di transizione non lo è, come nel caso del modello alpha-CIR. La tesi è organizzata come segue: - Nel primo capitolo verranno introdotte le principali difficoltà e idee relative alla modellizzazione stocastica del tasso di mortalità; - Nel secondo capitolo verrà discusso il framework teorico del modello alpha-JCIR e le sue principali proprietà; - Nel terzo capitolo verrà descritto il dataset utilizzato; - Nel quarto capitolo inizialmente verrà descritta la procedura di stima dei parametri, verrà quindi introdotto il relativo pseudo codice e in ultimo verranno commentati i risultati di stima dei parametri; - Nel quinto capitolo verrà descritto il metodo di simulazione per i modelli alpha-CIR e alpha-JCIR e verranno quindi commentate le traiettorie dei modelli calibrati; - Nel sesto capitolo verranno riassunti i principali risultati di questo lavoro di tesi e si discuteranno i possibili futuri sviluppi.