A class of optimal control problems of McKean-Vlasov SDES

The present thesis focuses on a class of stochastic optimal control problems of McKean-Vlasov stochastic differential equations. The main difference from standard stochastic optimal control problems is that the coefficients of the state equation, as well as of the optimization functional, may depend on the law of the state process. McKean-Vlasov control problems have known a surge of interest with the emergence of mean field game theory, a pioneering subject introduced few years ago by J.-M. Lasry and P.-L. Lions. Both problems can be interpreted as searches for equilibria of stochastic differential games with a continuum of players, symmetrically interacting each other through the empirical distribution of the entire population. In this thesis we study a particular class of McKean-Vlasov control problems, characterized by the fact that coefficients may be unbounded with respect to the control variable. Moreover, coefficients are not necessarily as in the classical linear-quadratic case, indeed they can be even non-linear. This is a still unexplored class of problems, in fact the literature on McKean-Vlasov control problems focuses on the standard case of coefficients bounded in the control variable.

Questa tesi studia una classe di problemi di controllo ottimo stocastico per equazioni differenziali stocastiche di tipo McKean-Vlasov. La differenza principale con i problemi standard di controllo ottimo stocastico consiste nel fatto che i coefficienti dell’equazione di stato e del funzionale guadagno dipendono anche dalla legge del processo di stato. I problemi di controllo di tipo McKean-Vlasov rappresentano un campo di ricerca che si è sviluppato molto recentemente grazie al legame con la teoria dei giochi a campo medio, un argomento introdotto solo pochi anni fa da J.-M. Lasry e P.-L. Lions. Sia i problemi di controllo di tipo McKean-Vlasov che i giochi a campo medio sono legati a giochi differenziali stocastici con un’infinità di giocatori, interagenti tra loro in modo simmetrico. La classe di problemi di controllo di tipo McKean-Vlasov esplorata in questa tesi è caratterizzata dal fatto che i coefficienti dell’equazione di stato e del funzionale guadagno possono essere non limitati rispetto alla variabile di controllo. Inoltre, a differenza del classico caso lineare-quadratico, tali coefficienti possono essere non-lineari. Si tratta di una classe di problemi ancora inesplorata, infatti finora la letteratura si è concentrata sul caso di coefficienti limitati nella variabile di controllo.