Applications of Gaussian processes in quantitative finance

Gaussian processes are a powerful tool that has recently gathered interest for financial applications, mainly thanks to its versatility and the possibility to give a reliable estimate of the uncertainty it entails. In this work, we explore its employment in different contexts of pricing and hedging. In particular, we first focused on basket options in order to provide accurate estimates of their price and their sensitivities, obtaining good precision when inferring on their deltas. Then we tested our Gaussian-based approach on a relevant problem arising in portfolio selection, i.e., finding the nearest valid correlation matrix among different random variables. In this regard, we obtained a significant accuracy boost in comparison with other methods, such as, e.g., the gradient updating and the shrinkage method, with some concerns arising considering the computational complexity perspective. Finally, we employed smoothing splines for estimating price and implied volatility surfaces of European options, in presence of stochastic volatility. This problem is still open when excluding arbitrage opportunities, and in this regard, we enforced some constraints, advancing one step towards the arbitrage-free solution. In addition, we proved the equivalence between this method and Gaussian Process Regression (GPR) with zero mean prior distribution and noise variance equal to the roughness coefficient of the splines.

I processi gaussiani sono un potente strumento che ha recentemente riscosso interesse per le applicazioni finanziarie, principalmente grazie alla sua versatilità e alla possibilità di fornire una stima affidabile dell’incertezza che comporta. In questo lavoro, esploriamo il suo impiego in diversi contesti di pricing e hedging. In particolare, ci siamo prima concentrati sulle opzioni basket al fine di fornire stime accurate del loro prezzo e della loro greche, ottenendo una buona precisione nell’inferire sulle delta. Successivamente, abbiamo testato il nostro approccio gaussiano su un problema rilevante che sorge nella selezione del portafoglio, i.e., trovare la matrice di correlazione valida più vicina. A questo proposito, abbiamo ottenuto un significativo aumento dell’accuratezza rispetto ad altri metodi, come, ad esempio, l’aggiornamento del gradiente e il metodo del ritiro, con alcune preoccupazioni che emergono considerando la prospettiva della complessità computazionale. Infine, abbiamo impiegato la tecnica dello spline smoothing per stimare le superfici di prezzo e volatilità implicita delle opzioni europee, in presenza di volatilità stocastica. Questo problema è ancora aperto quando si escludono le opportunità di arbitraggio ed, a questo proposito, abbiamo imposto alcuni vincoli, avanzando di un passo verso la soluzione senza arbitraggio. Inoltre, abbiamo dimostrato l’equivalenza tra questo metodo e la regressione gaussiana con distribuzione a priori a media nulla e varianza del rumore pari al coefficiente di rugosità delle spline.