Improved numerical methods for flow in complex fractured reservoirs

The study of flow in fractured porous media is a key ingredient for many geoscience applications, such as reservoir management. Modelling and simulation of these highly heterogeneous and geometrically complex systems require the adoption of non-standard numerical schemes, which are the focus of this thesis. The work, carried out in collaboration with Eni S.p.A., consists of three main contributions. First, we deal with the integration of the Embedded Discrete Fracture Model (EDFM) in the context of a complex industrial computational model used by Eni. EDFM is a method based on the Finite Volume Method which discretizes fractures explicitly, but without honouring their geometry with the grid, whose cells are cut by the fractures. To this aim, a preprocessing code, called FRock (Fractured Rock), has been developed. It computes geometrical quantities needed for the implementation of the method with innovative algorithms. The code is validated by performing several numerical tests, and the results obtained are compared with some benchmark cases. In another part of this thesis we propose an improvement of EDFM, since it suffers from some limitations: it assumes a linear pressure distribution around fractures, which holds true only far from the tips and fracture intersections, and it can be employed for highly permeable fractures only. These limits are overcome by solving different types of local problems, whose definitions are inspired from numerical upscaling techniques, with a conforming method and computing new transmissibilities. The new method is called Local Embedded Discrete Fracture Model (LEDFM) and the results obtained from several numerical tests confirm the aforementioned improvements. To speed up an otherwise very costly procedure, neural networks are integrated in the model to provide a fast evaluation of the local flow problems. Finally, with the aim of improving the geometrical accuracy in the solution of the Darcy problem with general domains and grids, we present an extension of the Mixed Virtual Element Method (MVEM) to the case of curved interfaces in two and three dimensions. Curved interfaces, which might be internal, or portions of the physical boundary, are often met in real applications. However, they are often approximated with planar entities leading to a geometrical error that might become dominant degrading the expected order of convergence of the scheme. The numerical scheme is presented in detail along with some numerical examples to validate the proposed approach.

Lo studio dei flussi in mezzi porosi fratturati è un ingrediente fondamentale per molte applicazioni riguardanti le geoscienze, come ad esempio la gestione dei giacimenti petroliferi. La modellizzazione e simulazione di questi sistemi altamente eterogenei e geometricamente complessi richiede l’utilizzo di metodi numerici non convenzionali, argomento su cui è incentrata questa tesi. Il lavoro, svolto in collaborazione con Eni S.p.A, è composto da tre contributi principali. Inizialmente ci occupiamo dell’integrazione di Embedded Discrete Fracture Model (EDFM) nell’ambito di un complesso modello computazionale industriale usato da Eni. EDFM è basato sul Metodo dei Volumi Finiti e discretizza le fratture in maniera esplicita, ma senza onorare la loro geometria con la griglia, le cui celle sono attraversate dalle fratture. A tal scopo è stato sviluppato un codice di preprocessing chiamato FRock (Fractured Rock), che calcola le quantità geometriche necessarie per l’implementazione del metodo con algoritmi innovativi. Il codice è validato attraverso diversi test numerici, e i risultati ottenuti sono confrontati con alcuni casi di riferimento. In un’altra parte di questa tesi proponiamo un miglioramento di EDFM, dal momento che presenta alcune limitazioni: assume una distribuzione di pressione lineare attorno alle fratture, che è veritiera solo lontano dalle estremità e dalle intersezioni tra fratture, e può essere usato solamente per fratture molto permeabili. Queste limitazioni vengono superate risolvendo diversi tipi di problemi locali, le cui definizioni sono ispirate da tecniche di upscaling numerico, con un metodo conforme e calcolando nuove trasmissibilità. Il nuovo metodo è chiamato Local Embedded Discrete Fracture Model (LEDFM), e i risultati ottenuti da diversi test numerici confermano i suddetti miglioramenti. Per accelerare una procedura altrimenti molto costosa, delle reti neurali sono integrate nel modello per fornire una valutazione rapida dei problemi locali. Infine, con lo scopo di migliorare l’accuratezza geometrica della soluzione del problema di Darcy con domini e griglie generici, presentiamo un’estensione del Mixed Virtual Element Method (MVEM) per il caso di interfacce curve in 2D e 3D. Le interfacce curve, che possono essere interne o parti del contorno fisico, si ritrovano spesso in applicazioni reali. Tuttavia, sono spesso approssimate con entità planari, le quali introducono un errore geometrico che potrebbe diventare dominante degradando l’ordine di convergenza atteso dello schema. Lo schema numerico è presentato nel dettaglio assieme ad alcuni esempi numerici per validare l’approccio proposto.