Multilevel Monte Carlo methods for uncertainty quantification of acoustic wave propagation

This thesis aims at studying the problem of uncertainty quantification for acoustic waves propagation in random heterogeneous media. The study of uncertainty quantification in wave propagation phenomena plays an important role in different areas like seismology, acoustics, or electromagnetics. In the first part of this work, we present the wave equation, its properties, and how we can numerically solve it. Moreover, we introduce the concept of random fields and an algorithm to simulate them. Then, we introduce the Monte Carlo Finite Element Method (MCFEM) and discuss its use to estimate the mean of a functional of the solution of the wave equation. Finally, after addressing the limitations of the method mentioned above, we introduce the Multilevel Monte Carlo Finite Element Method (MMCFEM), with the aim to improve the algorithm's accuracy. We present four different numerical experiments to test the robustness of the MCFEM and MMCFEM. In each experiment, we compare the performance of MCFEM and MMCFEM in terms of the ability to estimate suitable Quantities of Interest, and compare the results in terms of error and variance. The outcomes indicate that the MMCFEM can lead to results with better accuracy and similar variance without substantial additional computational costs.

Il presente lavoro di tesi si propone di studiare il problema della quantificazione della incertezza per la propagazione delle onde acustiche in mezzi eterogenei e stocastici. Lo studio della quantificazione dell'incertezza nella propagazione delle onde ricopre un ruolo importante in diverse aree come la sismologia, l'acustica e l'elettromagnetismo. Nella prima parte di questo lavoro, viene presentata l'equazione delle onde, le sue proprietà e gli approcci per la sua resoluzione numerica. Inoltre, viene introdotto il concetto di campi casuali ed un algoritmo per la simulazione di questi ultimi. In seguito, viene introdotto il metodo Monte Carlo agli Elementi Finiti (MCFEM) e viene presentato il suo utilizzo per stimare la media di un funzionale della soluzione dell'equazione delle onde. Infine, dopo aver discusso i limiti del metodo sopra menzionato, si introduce il metodo Monte Carlo multilivello agli Elementi Finiti (MMCFEM), con l'obiettivo di migliorare l'accuratezza dell'algoritmo. Sono stati condotti quattro diversi esperimenti per testare l'efficacia del MCFEM e MMCFEM. In ogni esperimento, sono state confrontate le prestazioni di MCFEM e MMCFEM in termini di capacità di stimare adeguate quantità di interesse e sono stati comparati i risultati in termini di errore e varianza. I risultati hanno dimostrato che il MMCFEM può portare a risultati con una migliore accuratezza ed una varianza simile senza sostanziali risorse computazionali aggiuntive.