Virtual elements based on the Hu-Washizu variational principle and their application in linear elastostatics and elastodynamics

In this Master thesis work, a Hu-Washizu formulation of the Virtual Element Method (VEM) for plane linear elasticity is proposed. First, a general formulation valid for different mixed finite elements is presented. Then, VEM hypotheses are introduced and some numerical results related to the first three orders of accuracy of the method are discussed. The first part of these applications concerns classical problems in linear elastostatics, such as a convergence test with known analytical solution and the Cook's membrane problem. Afterwards, the focus is put on linear elastodynamics, for which the natural extension of the previous formulation is illustrated. In this case, numerical applications of virtual elements concern a convergence study, a time-history analysis and specific aspects in the context of explicit dynamics. In particular, starting from the consideration that the critical time step is strictly related to the maximum eigenfrequency of the mesh, a study of the VEM eigenfrequencies has been conducted, with a particular emphasis on the effect of the stiffness matrix stabilization technique. Subsequently, a comparison between VEM and standard Finite Element Method (FEM) eigenfrequencies is proposed. Furthermore, a selective mass scaling procedure is introduced, with the aim of reducing the computational effort of explicit dynamics analyses. Finally, an enhanced strain VEM formulation based on the Hu-Washizu principle is presented. It is shown how it is possible to obtain an intrinsically stable 4-node virtual finite element. Also in this case, numerical results are discussed. The superior insensitivity to distorsion of the obtained 4-node element is evidenced.

In questo lavoro di tesi di laurea Magistrale, viene proposta una formulazione del Metodo degli Elementi Virtuali (VEM) per elasticità lineare bidimensionale basata sul principio variazionale di Hu-Washizu. In primo luogo, viene presentata una formulazione generale valida per differenti tipologie di elementi finiti misti. Successivamente, vengono introdotte le ipotesi del VEM e alcuni risultati numerici relativi ai primi tre ordini di accuratezza del metodo sono discussi. La prima parte di queste applicazioni riguarda problemi classici in elastostatica lineare, come un test di convergenza con soluzione analitica nota e il problema della membrana di Cook. In un secondo momento, l'attenzione è rivolta all'elastodinamica lineare, per la quale viene illustrata l'estensione naturale della precedente formulazione. In questo caso, le applicazioni numeriche degli elementi virtuali riguardano uno studio di convergenza, un'analisi nel tempo e specifici aspetti nell'ambito della dinamica esplicita. In particolare, partendo dalla considerazione che il passo temporale critico è strettamente legato alla massima autofrequenza della mesh, è stato condotto uno studio delle autofrequenze VEM, con un'enfasi particolare sull'effetto della tecnica di stabilizzazione della matrice di rigidezza. Successivamente, viene proposto un confronto tra le autofrequenze VEM e le autofrequenze ottenute con il Metodo degli Elementi Finiti standard (FEM). Inoltre, viene introdotta una procedura di ‘scaling’ selettivo delle masse, con l'obiettivo di ridurre l'onere computazionale di analisi dinamiche esplicite. Infine, viene presentata una formulazione a deformazione ‘enhanced’ del VEM basata sul principio di Hu-Washizu. Si mostra come sia possibile ottenere un elemento finito virtuale a 4 nodi intrinsecamente stabile. Anche in questo caso vengono discussi alcuni risultati numerici. Viene messa in evidenza la superiore insensibilità alle distorsioni dell'elemento a 4 nodi così ottenuto.