Stochastic optimal control problems with additional initial information

In this thesis we will show how to formulate and solve with classical duality techniques the stochastic control problem of expected utility maximization from terminal wealth in a complete and arbitrage-free market modeled with semimartingales. Then the focus will be posed on the possibility for the controller to have additional initial information. We will show how to take this into consideration by enlarging the original filtration and how, under certain assumptions and changes of measure, the properties of completeness and no-arbitrage of the market can remain valid. We will also provide explicit formulas for the cases of logarithmic, power and exponential utility functions and finally we will be able to quantify the value of the additional initial information via an indifference principle.

In questa tesi andremo a mostrare come la questione finanziaria della massimizzazione dell’utilità attesa possa essere affrontata tramite un problema di controllo stocastico, risolvibile con le classiche tecniche di dualità. Dopodiché ci occuperemo della possibile presenza di informazioni iniziali aggiuntive acquistabili sul mercato. Per far questo adotteremo un approccio già presente nella letteratura: ipotizzeremo che le informazioni aggiuntive siano rappresentabili da una variabile aleatoria e riformuleremo il problema di controllo sotto un allargamento iniziale della filtrazione. In mercati completi e privi di arbitraggio, specifiche ipotesi su tale variabile aleatoria consentiranno un cambio di misura che preserva le proprietà di martingala e che garantisce il non arbitraggio e la completezza anche in presenza delle informazioni aggiuntive, rendendo così il nuovo problema risolvibile con le medesime tecniche. Infine limitandoci ai casi di utilità logaritmica, potenza ed esponenziale, forniremo dei risultati espliciti che consentono di quantificare in termini monetari il valore dell’informazione.