Applications of the large deviations theory in option pricing

Large deviations theory has recently gained a remarkable interest in the quantitative finance world. The work here presented aims to provide a brief introduction to the main results of such theory, in order to deal with some of its most relevant applications in option pricing. After a brief theoretical overview reported in the first chapter, the second chapter focuses on the analysis of a sequence of results, provided by different authors in the last twenty years, concerning a common importance sampling strategy as variance reduction technique for the Monte Carlo method. The starting idea is due to Glasserman, Heidelberger and Shahabuddin and it consists in an appropriate use of Varadhan’s theorem, a cornerstone of the theory; this method has then been extended during the years assuming different possible models for the underlying, like the Heston model and models based on Lévy processes. Instead, the third chapter is devoted to the analysis of a method proposed by Baldi, Caramellino and Iovino for pricing continuously monitored barrier options, relying again on the large deviations theory and assuming the Black and Scholes model for the underlying. The procedure, which was already generalized by the same authors for other diffusion models like the CEV, is further extended for jump-diffusion models, which have more relevance in modern finance. For both the applications, results from numerical simulations are reported; lastly, in the sixth chapter an innovative mix of the two procedures under the Kou model is proposed.

La teoria delle grandi deviazioni ha recentemente riscosso notevole interesse nel mondo della finanza quantitativa. Il lavoro qui presentato si propone l’obiettivo di fornire una breve introduzione dei risultati principali di tale teoria, al fine di poter trattare alcune tra le sue più rilevanti applicazioni nell’ambito della prezzatura di opzioni. A seguito di una sintetica panoramica teorica riportata nel primo capitolo, nel secondo capitolo viene analizzata una sequenza di risultati, proposti da diversi autori nell’ultimo ventennio, incentrati su una comune strategia di importance sampling come tecnica di riduzione della varianza per il metodo Monte Carlo. L’idea di partenza è dovuta a Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin e consiste in un opportuno utilizzo del teorema di Varadhan, uno dei risultati cardine della teoria; il metodo è stato poi esteso nel corso degli anni assumendo diversi possibili modelli per il sottostante, come il modello di Heston e i modelli basati su processi di Lévy. Il terzo capitolo è invece dedicato all’analisi di un metodo proposto da Baldi, Caramellino e Iovino per la prezzatura di opzioni barriera a monitoraggio continuo, affidandosi nuovamente alla teoria delle grandi deviazioni e assumendo per il sottostante il modello di Black e Scholes. La procedura, già generalizzata dagli autori stessi per altri modelli di tipo diffusivo come il CEV, viene ulteriormente estesa per modelli di diffusione con salti, di maggiore rilievo nella finanza moderna. Per entrambe le applicazioni, sono riportati risultati ottenuti tramite simulazioni numeriche; infine, nel sesto capitolo viene proposto un mix innovativo delle due procedure per il modello di Kou.