A game-theoretic approach to time inconsistent optimal control problems

This thesis has the purpose of analyzing the main problems that arise in dealing with stochastic optimal control problems characterized by time-inconsistency, that is problems for which Bellman’s principle of optimality does not hold. Three possible approaches to solving this class of control problems are presented: pre-commitment, naïve and sophisticated. In particular, the thesis explores the last of the three, the sophisticated one, which is based on a concept of optimality typical of game theory: the Nash equilibrium. For the time-inconsistent problem the equilibrium control strategy is constructed through a backward induction procedure, obtaining at the same time an equation characterizing the equilibrium value function of the problem. Finally, we use the presented results to study the generalized Merton’s portfolio problem.

Questa tesi ha lo scopo di analizzare le principali problematiche che emergono nell’affrontare problemi di controllo ottimo stocastico caratterizzati da inconsistenza temporale, ovvero problemi per cui non vale il principio di ottimalità di Bellman. Vengono presentati tre possibili approcci alla risoluzione di questa classe di problemi: pre-commitment, naïve e sofisticato. In particolare, la tesi approfondisce l’ultimo dei tre, quello sofisticato, il quale si fonda su un concetto di ottimalità proprio della teoria dei giochi: l’equilibrio di Nash. Per il problema di controllo inconsistente nel tempo, viene costruita, attraverso una procedura di induzione a ritroso, la strategia di controllo di equilibrio, ottenendo allo stesso tempo un’equazione caratterizzante la funzione valore del problema all’equilibrio. Infine, utilizziamo i risultati ottenuti per studiare il problema di portafoglio di Merton generalizzato.