Optimal initial perturbations in a boundary layer with wall actuation

Waves of span-wise velocity at the wall are known to be very effective in reducing the friction drag in turbulent channels and boundary layers. They can also delay transition in boundary layers. To investigate this interesting property, in this work we compute linear and nonlinear optimal perturbations in a Blasius boundary layer actuated by standing waves of span-wise velocity at the wall. Namely, we look for the initial velocity perturbation able to produce the maximum energy gain in a given target time. The Navier-Stokes equations and their linearized counterparts act as a constraint in the optimization problem and they are integrated by an incremental pressure-correction scheme based on the direction-splitting technique. The optimization process involves the adjoint equations, formulated in the continuum. The analysis is carried out for different stream-wise wave-lengths of the wall actuation in order to uncover the influence of this parameter on transition. In particular, when the wave-length is comparable with the size of wall-structures, the actuation decreases the final energy gain. This property may explain the ability of this control to delay transition. In contrast, larger wave-lengths trigger amplification mechanisms also in the transverse direction, resulting in an increment of the final value reached by the objective function. It is remarkable that this purely spatial actuation may be implemented without moving parts and can represent an effective and realizable strategy for either triggering or delaying transition. Furthermore, nonlinear simulations shed light on important analogies existing between the evolution of optimal perturbations and the turbulent regeneration cycle.

È noto come la tecnica di controllo basata sulle onde di velocità trasversale a parete sia efficace nel ridurre la resistenza d’attrito all’interno di canali turbolenti e strati limite. Essa può anche ritardare la transizione all’interno di strati limite. Al fine di approfondire questa interessante proprietà, in questo lavoro abbiamo ricercato le perturbazioni ottime lineari e nonlineari all’interno di uno strato limite di Blasius attuato tramite onde stazionarie di velocità trasversale imposte a parete. In particolare, si ricercano le perturbazioni di velocità iniziali in grado di massimizzare il guadagno di energia in un determinato periodo temporale. Le equazioni di Navier-Stokes e la loro linearizzazione agiscono come vincoli all’interno del problema di ottimizzazione ed esse sono integrate nel tempo tramite uno schema incrementale pressure-correction basato sulla tecnica di parallel-splitting. Il processo di ottimizzazione prevede l’utilizzo delle equazioni aggiunte, formulate nel continuo. L’analisi è effettuata per diverse lunghezze d’onda dell’attuazione a parete con lo scopo di studiare l’influenza di tale parametro sulla transizione. In particolare, quando la lunghezza d’onda è comparabile con le dimensioni delle strutture a parete, l’attuazione diminuisce il guadagno energetico finale. Questa proprietà può giustificare il ritardo di transizione già osservato. Esso invece risulta essere notevolmente aumentato quando vengono utilizzate lunghezze d’onda maggiori, le quali innescano ulteriori meccanismi di amplificazione in direzione trasversale. È importante il fatto che tale tecnica di controllo, puramente spaziale, non comporti la presenza di parti mobili e che quindi rappresenti una strategia effettivamente realizzabile sia per innescare la transizione, sia per ritardarla. Inoltre, le simulazioni nonlineari hanno evidenziato importanti analogie tra l’evoluzione delle perturbazioni ottime e il ciclo di rigenerazione in regime turbolento.