On quaternionic operator theory and fractional powers of vector operators

In recent years the fractional nonlocal operators have been subject to extensive investigation both in pure and in applied mathematics. In particular, they have received increasing attention due to applications in different fields such as, just for mention a few: optimal transport, image reconstruction, finance, quantum mechanics, phase transitions, stratified materials, anomalous diffusion, crystal dislocation, flame propagation, conservation laws, multiple scattering, minimal surfaces, water waves and thin obstacle problem. This kind of problems are still much less understood than their nonfractional counterparts. In particular, a notion of spectrum for a quaternionic operator has been unclear (i.e. in quaternionic quantum mechanics). The development of the quaternionic spectral theory based on the S-spectrum started in 2006. With the discovery of this spectral theory it has been possible to define the fractional powers of a wide class of vector operators. Among other things, giving rise to new formulations of fractional diffusion problems and evolution problems, which are of special interest in the study of nonhomogeneous materials.

Negli ultimi anni gli operatori frazionari non locali sono stati oggetto di approfondite ricerche sia in matematica pura che applicata. In particolare, hanno ricevuto una crescente attenzione per applicazioni in diversi campi quali, solo per citarne alcuni: trasporto ottimale, ricostruzione di immagini, finanza, meccanica quantistica, transizioni di fase, materiali stratificati, diffusione anomala, dislocazione dei cristalli, propagazione della fiamma, leggi di conservazione, scattering multiplo, superfici minime, onde d'acqua e problema di ostacoli sottili. Questo tipo di problemi è ancora molto meno compreso delle loro controparti non frazionarie. In particolare, una nozione di spettro per un operatore quaternionico non è stata chiara. In particolare, una nozione di spettro per un operatore quaternionico non era stata chiarificata nel contesto della meccanica quantistica. Lo sviluppo della teoria spettrale quaternionica basata sul' S-spettro è iniziato nel 2006. Con la scoperta di questa teoria spettrale è stato possibile definire le potenze frazionarie di un'ampia classe di operatori vettoriali. Utilizzando questi operatori frazionari è stato possibile dare nuove formulazioni di problemi di diffusione frazionaria e problemi di evoluzione, che sono di particolare interesse nello studio dei materiali non omogenei.