On the joint calibration of S&P 500 and VIX smiles : a challenge between two models

The existence of a liquid market on volatility derivatives, such as VIX index futures and options, has lead to the need for models that jointly calibrates to the prices of these volatility derivatives together with the prices of options on the underlying asset. Such models are necessary to hedge volatility exposure of options portfolios and avoid arbitrage opportunities among financial institutions. The first aim of this thesis is to present and discuss two of the many models that researchers have built in the past years, that jointly calibrate futures and options on the VIX index -- one of the most widely used indicator of market volatility -- and options on its underlying asset, the S&P 500 index (SPX). Theoretical and empirical aspects -- such as absence of arbitrage, martingality and consistency conditions -- behind the models are treated as well as calibration implementation details -- with instruments like Fourier transform, Monte-Carlo simulations and Sinkhorn algorithm. Two are the main contributions to this thesis: the works of Cont and Kokholm [2013] and Guyon [2020]. First, we compare in detail the two models proposed: the former uses a joint SPX/VIX dynamics based on Lévy jump-diffusion processes, the latter a joint probability measure on a discrete set of SPX and VIX futures. Second, we present the outcome of our numerical analysis on a real database that validates the goodness of the models and shows whether the market is free of a joint SPX/VIX arbitrage.

La presenza di un mercato liquido dei derivati sulla volatilità, come i contratti future e le opzioni sull'indice VIX, ha reso necessario l'utilizzo di modelli che calibrino i prezzi di questi derivati congiuntamente con i prezzi delle opzioni sul titolo sottostante. Questi modelli sono necessari per coprirsi da un'esposizione alla volatilità ed evitare opportunità di arbitraggio fra le istituzioni finanziarie. Il primo scopo di questa tesi è presentare e discutere due dei tanti modelli che gli studiosi hanno cercato di implementare negli ultimi anni, che calibrano contratti future e opzioni sull'indice VIX - uno dei più utilizzati indicatori di volatilità nel mercato - e le opzioni sul suo sottostante, l'indice S&P 500 (SPX). Trattiamo gli aspetti teorici ed empirici che stanno dietro ai modelli - come l'assenza di opportunità di arbitraggio e condizioni di martingala e consistenza - così come i dettagli implementativi sulla calibrazione dei modelli - dove utilizziamo strumenti come la trasformata di Fourier, simulazioni Monte-Carlo e l'algoritmo di Sinkhorn. I principali contributi a questa tesi sono gli articoli di Cont and Kokholm [2013] e di Guyon [2020]. Nella parte iniziale, confrontiamo i due modelli proposti: il primo modella una dinamica congiunta di SPX e VIX utilizzando processi di Lévy diffusivi con salti, mentre il secondo costruisce una distribuzione congiunta di probabilità su un insieme discreto di valori di SPX e VIX. Infine, mostriamo il risultato delle nostre analisi numeriche che validano i modelli e dimostrano che il mercato non permette possibilità di arbitraggio usando congiuntamente opzioni sugli indici SPX e VIX.