A direct collocation approach for trajectory design in Cartesian coordinates

Low-thrust trajectory optimization problems concern the determination of the control vectors that generate a feasible trajectory while minimizing a performance index, such as time of flight or propellant usage. Such problems belonging to the family of continuous optimal control are mostly solved numerically using direct or indirect methods. This work deals with low-thrust trajectory optimization problems using DIRETTO (DIREct collocation tool for Trajectory Optimization), a software developed at Politecnico di Milano. Specifically, the optimal control problem is transcribed into a sparse non-linear programming problem using a local direct collocation method known as the Hermite Simpson quadrature scheme. The resulting discretized problem is solved using IPOPT, a nonlinear programming solver that implements an interior-point algorithm. The main objective of this thesis is to test the performance of DIRETTO by utilizing Cartesian coordinates to express the system dynamics of an unperturbed two-body problem. For this purpose, two time-fixed fuel-optimal problems are considered, namely Earth to Mars and Earth to Venus transfers. In the first example, the computed propellant consumption and control thrust profile are identical to the results generated using Spherical coordinates to express the system dynamics. However, the solution with the Spherical coordinates outperforms the one with the Cartesian coordinates since, in the former case, the solver requires fewer iterations to converge to a local minimum for the same number of nodes. In the second example, the local minima reached with the Cartesian-type dynamics agree with the ones reported in the literature.

I problemi di ottimizzazione di traiettorie a bassa spinta permettono di determinare il controllo generante una traiettoria percorribile minimizzando un indice di prestazione, come il tempo di volo o il propellente utilizzato. Tali problemi rientrano nella categoria di problemi di controllo ottimo continuo e sono per lo più risolti numericamente utilizzando metodi diretti o indiretti. Questo lavoro si occupa di problemi di ottimizzazione di traiettorie a bassa spinta utilizzando DIRETTO (DIREct collocation tool for Trajectory Optimization), un software sviluppato al Politecnico di Milano. In particolare, il problema del controllo ottimo viene trascritto in un problema di programmazione sparso non lineare utilizzando un metodo di collocazione diretta locale noto come schema di quadratura di Hermite Simpson. Il problema discretizzato risultante viene risolto utilizzando IPOPT, un risolutore di programmazione non lineare che implementa un algoritmo interior-point. L'obiettivo principale di questa tesi è testare le prestazioni di DIRETTO utilizzando le coordinate cartesiane per esprimere la dinamica del sistema del problema imperturbato di due corpi. A tal fine, vengono presi in considerazione due problemi fissati nel tempo per l'ottimizzazione del propellente usato, in particolare i trasferimenti dalla Terra a Marte e dalla Terra a Venere. Nel primo esempio, il consumo di propellente calcolato e il profilo della spinta di controllo sono identici ai risultati generati utilizzando le coordinate sferiche per esprimere la dinamica del sistema. Tuttavia, la soluzione in coordinate sferiche supera in prestazioni quella in coordinate cartesiane poiché, nel primo caso, il risolutore richiede meno iterazioni per convergere a un minimo locale per lo stesso numero di nodi. Nel secondo esempio i minimi locali raggiunti con la dinamica di tipo cartesiano concordano con quelli riportati in letteratura.