Research on modelling and numerical simulation of non-smooth dynamic systems with unilateral constraints

Vehicles, and particle dampers, which are common dynamic systems in engineering, can be modeled as non-smooth multibody systems with unilateral constraints. In those multibody systems, non-smooth events, such as contacts, impacts and friction, all lead to the existence of discontinuous or non-differentiable terms in dynamics equations, which are difficult to be solved. The non-smooth contact dynamics (NSCD) theory provides effective theoretical basis for the solution of those non-smooth multibody systems. However, with the in-depth study of the frictional contacts and with the increase in the complexity of the dynamic systems, numerically solving those systems brings new challenges. For the numerical solution of those systems, this dissertation aims at studying the numerical methods for the non-smooth multibody systems with unilateral constraints, based on the NSCD theory, normal contact laws, explicit/implicit integration schemes, and co-simulation schemes, etc., which includes the following parts: Based on normal contact laws and the linear complementarity theory, an explicit non-smooth scheme is developed for studying dynamics of a bouncing dimer. This method gives the dynamics equations of the bouncing through the Lagrange equations of the second kind. In the method, normal contact forces are modelled by normal contact laws, and tangential contact forces are described by dry Coulomb's friction laws. When relative tangential velocities vanish to zero, the detection of slip-stick transitions and the solution of static friction forces are transformed into the solution of linear complementarity problems (LCPs). The dynamics equations are discretized based on the event-driven scheme and integrated through an explicit Runge-Kutta scheme, where Baumgarte’s stabilization method is also applied to avoid the constraints drift problems. Finally, the above explicit method is used to the study dynamics of the drift motion of an asymmetric dimer. The buffer intervals of relative tangential velocities are proposed and together with the adjustment techniques of time steps and the correction techniques, an implicit non-smooth method using high-order implicit integrators is developed. In the method, the augmented Lagrange method is employed for establishing dynamics equations, where the projection functions are used to describe the friction with set-valued laws. To reduce the accuracy loss and numerical oscillations caused by the non-smooth events such as the switches of friction states, improved implicit methods are developed based on the event-driven scheme. The developed method accurately detects the friction transitions and corrects dynamic variables including the friction forces and accelerations when transitions happen. Finally, the improved implicit schemes are tested using several benchmarks. It follows that the developed method can approximately achieve the second-order accuracy, and takes less computation time compared to the Moreau’s time stepping scheme and the unchanged implicit methods. Based on the open-source multibody dynamics softwares MBDyn and Project Chrono, stable co-simulation schemes are developed by an iterative process and modified inputs, to study the coupled dynamics of multibody systems with particle dampers. In the method, MBDyn based on the multibody dynamics (MBD) approach is employed to solve the smooth multibody subsystems, and Project Chrono based on the NSCD method is employed to solve the particle dampers. To improve the numerical stability of co-simulation schemes, an embedded-function implicit scheme and an explicit scheme using modified inputs are developed. In the implicit scheme, the integration process of the non-smooth solver is embedded into the iterative process of the smooth solver, and an iterative process using Gauss-Seidel algorithm is carried out to improve the stability. In the explicit scheme using modified inputs, to keep the confinement of the non-smooth solver, the inputs are modified following the spirit of Baumgarte’s stabilization method, which introduces numerical damping during co-simulation to improve the stability. Stabilities of different co-simulation schemes are tested using Dahlquist’s test equations for co-simulation. Results denote that the implicit scheme and the explicit scheme using modified inputs can both improve the stability. Finally, co-simulation schemes are employed for the numerical simulation of multibody systems with particle dampers.

I veicoli in generale, e in particolare gli smorzatori a particelle, quali sistemi dinamici piuttosto comuni in ingegneria, possono essere modellati come sistemi multibody non lisci (``non-smooth'') con vincoli unilaterali. In questi sistemi multicorpo, eventi non regolari, come contatti, impatti e attriti, portano tutti all'esistenza di termini discontinui o non differenziabili nelle equazioni dinamiche, che risultano difficili da risolvere. La teoria della dinamica dei contatti non lisci (NSCD) fornisce una base teorica efficace per la soluzione di quei sistemi multicorpo non lisci. Tuttavia, con lo studio approfondito dei contatti di attrito e con l'aumento della complessità dei sistemi dinamici, la risoluzione numerica di tali sistemi comporta nuove sfide. Per la soluzione numerica di tali sistemi, questa tesi mira a studiare i metodi numerici per i sistemi multicorpo non liscio con vincoli unilaterali, basati sulla teoria NSCD, leggi di contatto normale, schemi di integrazione esplicita/implicita e schemi di co-simulazione, ecc., che comprende le seguenti parti: viene sviluppato uno schema esplicito non liscio per lo studio della dinamica di un dimero rimbalzante, basato sulle normali leggi di contatto e sulla teoria della complementarità lineare. Questo metodo fornisce le equazioni dinamiche del rimbalzo attraverso le equazioni di Lagrange del secondo tipo. Nel metodo, le normali forze di contatto sono modellate dalle normali leggi di contatto e le forze di contatto tangenziali sono descritte dalle leggi di attrito secco di Coulomb. Quando le velocità tangenziali relative svaniscono, il rilevamento delle transizioni di slittamento-adesione (``slip-stick'') e la soluzione delle forze di attrito statico si trasformano nella soluzione di problemi di complementarità lineare (LCP). Le equazioni dinamiche sono discretizzate in base allo schema event-driven e integrate attraverso uno schema esplicito di Runge-Kutta, dove viene applicato il metodo di stabilizzazione di Baumgarte per evitare i problemi di deriva dei vincoli. Infine, il metodo esplicito di cui sopra viene utilizzato per lo studio della dinamica del moto di deriva di un dimero asimmetrico. Vengono proposti gli intervalli di buffer delle velocità tangenziali relative e, insieme alle tecniche di aggiustamento dei passi temporali e alle tecniche di correzione, viene sviluppato un metodo implicito non uniforme che utilizza integratori impliciti di ordine elevato. Viene impiegato il metodo di Lagrange aumentato (``augmented Lagrangian'') per formulare equazioni della dinamica in cui le funzioni di proiezione vengono utilizzate per descrivere l'attrito con leggi a valori di insieme (``set-valued''). Per ridurre la perdita di precisione e le oscillazioni numeriche causate da eventi non uniformi come la variazione degli stati di attrito, vengono sviluppati metodi impliciti migliorati basati sullo schema event-driven. Il metodo sviluppato rileva accuratamente le transizioni di attrito e corregge le variabili dinamiche, comprese le forze di attrito e le accelerazioni quando si verificano le transizioni. Infine, gli schemi impliciti migliorati vengono testati utilizzando diversi benchmark. Ne consegue che il metodo sviluppato può raggiungere approssimativamente l'accuratezza del secondo ordine e richiede meno tempo di calcolo rispetto allo schema di time stepping di Moreau e ai metodi impliciti invariati. Schemi di co-simulazione stabili basati sulle formulazioni dei software di dinamica multicorpo open source MBDyn e Project Chrono sono sviluppati da un processo iterativo con input modificati per studiare la dinamica accoppiata di sistemi multibody con smorzatori a particelle (``particle dampers''). MBDyn, basato sull'approccio della dinamica multicorpo (MBD), viene impiegato per risolvere i sottosistemi multicorpo ``lisci'' mentre il software Project Chrono, basato sul metodo NSCD, viene impiegato per risolvere gli smorzatori a particelle. Per migliorare la stabilità numerica degli schemi di co-simulazione, vengono sviluppati uno schema implicito sotto forma di funzione incorporata e uno schema esplicito che utilizza input modificati. Nello schema implicito, il processo di integrazione del solutore ``non liscio'' è incorporato nel processo iterativo del solutore ``liscio'' e viene eseguito una iterazione basata sull'algoritmo di Gauss-Seidel per migliorare la stabilità della soluzione accoppiata. Nello schema esplicito che utilizza input modificati, per mantenere la stabilità del solutore ``non liscio'', gli input vengono modificati seguendo l'idea del metodo di stabilizzazione di Baumgarte, che introduce uno smorzamento numerico durante la co-simulazione per migliorare la stabilità. Le stabilità di diversi schemi di co-simulazione vengono verificate utilizzando le equazioni di test di Dahlquist per la co-simulazione. I risultati indicano che lo schema implicito e lo schema esplicito che utilizza input modificati possono entrambi migliorare la stabilità. Infine, vengono utilizzati schemi di co-simulazione per la simulazione numerica di sistemi multibody con smorzatori a particelle.