On the design and analysis of time integration methods for dynamics

Problems of dynamics are generally formulated as a set of ordinary differential equations or differential-algebraic equations after spatial modelling. Time integration methods are the most powerful tool for solving the numerical solutions. They can offer approximate solutions at a series of discrete time points through a recursive formulation. The design of the formulation decides the quality of solutions, including accuracy and stability. This thesis purposes to present the general formulations and several sets of optimal parameters of implicit multi-step methods, implicit multi-stage methods and explicit multi-stage methods. For two specific types of problems, the modified schemes based on the existing methods are proposed to meet their special requirements. The main work of this thesis is as follows: egin{itemize} item Considering the requirements of unconditional stability, tunable algorithmic dissipation and optimal accuracy, the optimal parameters of the linear three-, and four-step methods were proposed. The resulting schemes significantly improve the accuracy based on the existing linear two-step method at equivalent computational costs. Besides, to save the additional starting-up procedure of multi-step methods, their equivalent single-step formulations were proposed, and the parameters of single-step schemes equivalent to the linear two-, three- and four-step methods were given. The numerical performance of these methods is illustrated through linear analysis and numerical experiments. item Two sets of optimal schemes of explicit first-stage, singly diagonally-implicit Runge-Kutta methods were developed. Considering second-order accuracy, unconditional stability, tunable algorithmic dissipation, and the maximum conservation of low-frequency contents, a set of energy-conserving methods was developed. They have the optimal amplitude accuracy, and the overall accuracy can be improved by employing more stages. Considering unconditional stability, tunable algorithmic dissipation, the highest order of accuracy, and the smallest local truncation error, a set of higher-order methods was also developed. They have preferable period accuracy, strong algorithmic dissipation and show higher-order convergence rates in numerical examples, but their amplitude accuracy is not good as the energy-conserving methods. The numerical performance of these methods is also illustrated through linear analysis and numerical experiments. item The above-mentioned implicit methods have been all implemented in the open-source multibody dynamics analysis software MBDyn. Through the numerical solutions of benchmark problems, several general conclusions about the selection of methods and the set of parameters were summarized. item A novel explicit three-sub-step method with tunable width of stability interval $ au_{ m{b}}$ and tunable spectral radius $ ho_{ m{b}}$ at the bifurcation point was designed. For a given $ ho_{ m{b}}$, if $ au_{ m{b}}$ is set as the allowable maximum value, the proposed method has broader stability domain and better amplitude accuracy than existing explicit methods. As $ au_{ m{b}}$ gets smaller, it can offer higher period accuracy and stronger algorithmic dissipation. The numerical performance of these methods is also illustrated through linear analysis and numerical experiments. item For linear time-invariant systems, the concept of highly precise time integration methods was proposed. These methods can provide results with computer precision in a fast way and avoid the influence of computer rounding error, so they can be used as a convenient way to calculate the "exact" reference solutions for such problems. item For non-smooth systems with friction and impact, the implicit time integration scheme combined with an adjustable step size strategy was proposed. It can greatly improve the detection accuracy of impacts and avoid the drift phenomenon. The scheme is suitable when the systems contain a few contact points. end{itemize}

I problemi di dinamica sono generalmente formulati come un sistema di equazioni differenziali ordinarie o algebrico-differenziali, dopo l'eventuale discretizzazione spa-zia-le. I metodi di integrazione nel tempo sono lo strumento più potente per risolverle numericamente. Possono offrire soluzioni approssimate in una serie di istanti temporali discreti attraverso una formulazione ricorsiva. Il progetto della formulazione determina la qualità delle soluzioni, inclusa l'accuratezza e la stabilità. Questa tesi si propone di presentare le formulazioni generali e i corrispondenti parametri ottimali dei metodi impliciti a passo multiplo, dei metodi impliciti multistadio e dei metodi espliciti multistadio. Per due tipi specifici di problemi, vengono proposti gli schemi modificati basati sui metodi esistenti per soddisfare i loro specifici requisiti. Lo scopo principale di questo documento è il seguente: egin{itemize} item Considerando i requisiti di stabilità incondizionata, dissipazione algoritmica regolabile e accuratezza ottimale, sono stati proposti i parametri ottimali dei metodi lineari a tre e quattro passi. Gli schemi risultanti migliorano significativamente l'accuratezza rispetto al metodo lineare a due passi esistente a costo computazionale equivalente. Inoltre, per risparmiare l'ulteriore procedura di avviamento dei metodi a passo multiplo, ne sono state proposte equivalenti formulazioni a passo singolo e sono stati forniti i parametri degli schemi a passo singolo equivalenti ai metodi lineari a due, tre e quattro passi. Le prestazioni numeriche di questi metodi sono illustrate attraverso analisi lineari ed esperimenti numerici. item Sono stati sviluppati due insiemi di schemi ottimali di metodi Runge-Kutta a primo stadio esplicito e diagonalmente singolarmente impliciti. Considerando l'accuratezza del secondo ordine, la stabilità incondizionata, la dissipazione algoritmica regolabile e la massima conservazione dei contenuti a bassa frequenza, è stata sviluppata una serie di metodi di conservazione dell'energia. Hanno precisione di ampiezza ottimale, e la precisione complessiva può essere migliorata impiegando più stadi. Considerando la stabilità incondizionata, la dissipazione algoritmica regolabile, l'ordine di accuratezza più elevato e l'errore di troncamento locale più piccolo, è stata sviluppata anche una serie di metodi di ordine superiore. Hanno un'accuratezza del periodo ottimale, una forte dissipazione algoritmica e mostrano tassi di convergenza di ordine superiore negli esempi numerici, ma la loro accuratezza sull'ampiezza non è buona come quella dei metodi che conservano l'energia. Le prestazioni numeriche di questi metodi sono illustrate mediante analisi lineari ed esperimenti numerici. item I suddetti metodi impliciti sono stati tutti implementati nel software di analisi dinamica multibody open source MBDyn. Mediante la soluzione numerica di sistemi multi-body e dei sistemi con accoppiamento tra parti rigide e flessibili, sono state riassunte diverse conclusioni generali sulla selezione dei metodi e sull'insieme dei parametri selezionabili. item È stato progettato un nuovo metodo esplicito in tre fasi con ampiezza regolabile dell'intervallo di stabilità $ au_{ m{b}}$ e raggio spettrale $ ho_{ m{b}}$ nel punto di biforcazione regolabile. Per un dato $ ho_{ m{b}}$, se $ au_{ m{b}}$ è impostato come valore massimo consentito, il metodo proposto ha un dominio di stabilità più ampio e una migliore accuratezza dell'ampiezza rispetto ai metodi espliciti esistenti . Man mano che $ au_{ m{b}}$ diventa più piccolo, può offrire una maggiore precisione del periodo e una dissipazione algoritmica più forte. Le prestazioni numeriche di questi metodi sono illustrate anche attraverso analisi lineari ed esperimenti numerici. item Per i sistemi lineari tempo-invarianti, è stata proposta la concezione di metodi di integrazione temporale altamente precisi. Questi metodi possono fornire risultati con la precisione del computer in modo rapido ed evitare l'influenza dell'errore di arrotondamento del computer, quindi possono essere utilizzati come un modo conveniente per calcolare le soluzioni di riferimento ``esatte'' per tali problemi. item Per i sistemi ``non-smooth'' con attrito e impatto, è stato proposto lo schema di integrazione temporale implicito combinato con una strategia di dimensione del passo regolabile. Può migliorare notevolmente la precisione di rilevamento degli impatti ed evitare il fenomeno della deriva. Lo schema è adatto quando i sistemi contengono pochi punti di contatto. end{itemize}