Explicit time integration methods for simulation of plasma turbulence

This project was conducted within a collaboration between the Swiss Plasma Center and the Mathematics Institute at EPFL. The goal of this project is to improve the time stepping algorithm used to integrate the equations that describe the physics of the plasma in a tokamak boundary, in particular the drift-reduced Braginskii equations. The code that we use to simulate these equations is GBS (Global Braginskii Solver) that has been developed in the past years in the Swiss Plasma Center (SPC). The current time integration scheme is Runge-Kutta of fourth-order accuracy (RK4), which presents a critical limitation on the time step imposed by the absolute stability condition. We study explicit stabilized methods which are a powerful alternative to implicit methods. In particular, we consider Runge-Kutta-Chebyshev methods of first and second order. We also consider a splitting method of first-order accuracy that uses the optimal Runge-Kutta-Chebyshev method of order 1 to integrate the diffusive terms contained in the drift-reduced Braginskii equations, while the advective terms are evaluated just once every time step. This method can be considered the first step in the direction of more complex splitting methods. We report the result of the implementation of these time integration schemes in the GBS code and we conclude that the Runge-Kutta-Chebyshev method of order 2 is the most promising time scheme. Indeed with this method, we are able to have stable simulations with a time step more than twice as large as the one allowed by RK4.

Questo progetto è stato condotto in collaborazione con l'istituto di Matematica dell'EPFL e lo Swiss Plasma Center. Lo scopo di questo progetto è quello di migliorare l'algoritmo di integrazione in tempo usato per integrare le equazioni che descrivono la fisica del plasma nelle zone periferiche dei dispositivi tokamak, in particolare le equazioni di Braginskii nell'approssimazione di deriva. Il codice che usiamo per simulare queste equazioni è GBS (Global Braginskii Solver) che è stato sviluppato negli ultimi anni al Swiss Plasma Center (SPC). L'attuale schema di integrazione in tempo è Runge-Kutta di ordine 4 di accuratezza (RK4) che presenta un'importante limitazione sul time step imposta dalla condizione di assoluta stabilità. Abbiamo studiato i metodi espliciti stabilizzati che sono una potente alternativa ai metodi impliciti. In particolare, abbiamo considerato i metodi di Runge-Kutta-Chebyshev di primo e secondo ordine. Abbiamo anche preso in considerazione un metodo di splitting di primo ordine che sfrutta il metodo ottimale Runge-Kutta-Chebyshev di primo ordine per integrare i termini diffusivi contenuti nelle equazioni di Braginskii nell'approssimazione di deriva, mentre i termini avvettivi vengono valutati solo una volta ogni time step. Questo metodo può essere considerato il primo passo nella direzione di metodi più complessi di splitting. Abbiamo riportato i risultati dell'implementazione di questi schemi di integrazione temporale in GBS e possiamo concludere che il metodo Runge-Kutta-Chebyshev di secondo ordine è il più promettente schema temporale. Infatti con questo metodo, riusciamo ad avere simulazioni stabili con un time step più di due volte superiore a quello permesso da RK4.