Calibration of the generalized Bessel squared process

The thesis studies the calibration of the generalized Bessel squared (GBESQ) process $dX_t = ( a + b X_t ) dt + sigma X_t^{gamma} dW_t$, a stochastic process in continuous time that is known in finance as CKLS by the initials of the four authors who first applied it to the modelling of interest rates. This drift-diffusion process includes as special cases many important models used in financial mathematics, obtained through particular specifications of its four parameters. Examples are geometric Brownian motion, the Ornstein-Uhlenbeck process used e.g. in the Vasicek model, the Feller square-root process used in the Cox-Ingersoll-Ross model and in many stochastic volatility models, the constant elasticity of variance model, etc. The use of these models in financial applications is indeed a diffuse as well as established practice and the scientific literature presents different methods for their calibration. Particularly relevant for many applications is the mean-reverting form of the process that can be expressed as $dX_t = alpha (mu - X_t ) dt + sigma X_t^{gamma} dW_t$. However, many empirical studies show a severe bias for the estimation of the mean-reversion strength $alpha$ compared to the other parameters. This causes major issues when it comes to concrete applications, as $alpha$ directly affects the deterministic part of the process and it is strictly connected to the expected value of the process. Estimations, forecast, long-run properties and any trading strategies involving one of the mentioned dynamics are likewise affected. What is of interest for this dissertation is that, in the same studies, the observed bias is often characterised by a specific analytical pattern, which does not depend on the size of sample used to calibrate the process, but rather on its time span in terms of the observation time window. This analytical pattern has been proved just in specific cases, and still has not been generalized to the whole structure nor has it been fully exploited to reach improvements in the calibration exercise. First, we exploit some theoretical results about bias patterns to design a new algorithm for the Ornstein-Uhlenbeck and Feller square-root dynamics. Then, we will empirically verify the same patterns for the whole class of mean-reverting generalized Bessel squared process, for any given choice of the exponent $gamma$. From this result, we will extend the calibration algorithm previously introduced to this broader stochastic process. We will also deal with the most general case with a free exponent, for which we will introduce a new calibration algorithm that will be tested over real market data.

La presente tesi studia la calibrazione del generalized Bessel squared (GBESQ) process $dX_t = ( a + b X_t ) dt + sigma X_t^{gamma} dW_t$, un processo stocastico a tempo continuo, conosciuto in finanza come CKLS dalle iniziali dei quattro autori che per primi lo applicarono alla modelizzazione dei tassi di interesse. Questo processo diffusivo con drift include, come casi particolari, molti importanti modelli adottati in finanza matematica, ottenuti tramite particolari specificazioni dei suoi quattro parametri. Esempi ne sono il geometric Brownian motion, il processo Ornstein-Uhlenbeck usato e.g. nel modello di Vasicek, il processo Feller square-root utilizzato nel modello di Cox-Ingersoll-Ross e in molti altri modelli a volatilità stocastica, il constant elasticity of variance model, etc. L'uso di questi modelli in applicazioni finanziarie è infatti una pratica diffusa quanto consolidata e la letteratura scientifica presenta diversi metodi per la loro calibrazione. Di particolare rilevanza per molte applicazioni è la forma mean-reverting del processo in oggetto, che può essere espressa come $dX_t = alpha (mu - X_t ) dt + sigma X_t^{gamma} dW_t$. Tuttavia, un certo numero di studi empirici mostra un bias severo per la stima della mean-reversion strength $alpha$ rispetto al bias relativo agli altri parametri. Questo causa maggiori difficoltà nel caso di applicazioni concrete, dato che $alpha$ inficia la parte deterministica del processo e ne risulta strettamente connesso con il valore atteso. Stime, previsioni, proprietà asintotiche e strategie di trading che coinvolgano una delle dinamiche menzionate ne risultano altrettanto influenzate. Ciò che è di interesse per questa tesi è che, negli stessi studi, il bias osservato è spesso caratterizzato da uno specifico andamento analitico, che non dipende dall'ampiezza del campione usato per calibrare il processo, ma, invece, dalla sua ampiezza temporale in termini di finestra di osservazione. Questo andamento analitico è stato dimostrato teoricamente solo in alcuni casi e non è ancora stato generalizzato all'equazione completa, nè è stato mai completamente sfruttato per ottenere miglioramenti nelle procedure di calibrazione. Per prima cosa, approfitteremo di alcuni risultati teorici riguardanti l'andamento del bias per definire un nuovo algoritmo nel caso delle dinamiche Ornstein-Uhlenbeck e Feller square-root. Successivamente, verificheremo empiricamente lo stesso andamento per l'intera classe di mean-reverting generalized Bessel squared process, per qualsiasi data scelta dell'esponente $gamma$. Da questo risultato, estenderemo l'algoritmo di calibrazione introdotto a questa classe di processi stocastici più generale. In ultimo, affronteremo anche il caso con esponente libero, per il quale introdurremo un ulteriore nuovo algoritmo di calibrazione, che verrà testato su dati di mercato reali.