Regime-switching markov modeling with applications in quantitative finance

The description of the regime-switching Markov modeling and its application to quantitative finance problems constitute the double purpose of this thesis. The contribution of this work is the implementation of the techniques explained in [25] which can be split into two tracks depending on the initial setting and on the aim of the analysis. The first approach is based on the approximation of a general regime-switching Markov model through a corresponding continuous time Markov chain and the consecutive merger of the state variable dynamics together with stochastic process describing transition between regimes, resulting in a reduction of the dimensionality of the model. Here, each regime is inspected individually via the elegant scheme develop in [3] and then the different operators are combined following [25, Theorem 1] to obtain the overall transition rate matrix of the RS-CTMC. A natural field of application for this method is the evaluation of a fair price for financial options, both plain vanilla and exotic, whose underlying dynamics is often examined using some known Markov processes. The second approach is used when dealing with a time series of data related to an asset traded in financial markets, for fitting a suitable distribution to it on the basis of an Expectation-Maximization algorithm computing a log-likelihood information criteria. The distributions used here are related to first passage times of a CTMC, and they are called phase-type distributions, while when fitting RS-CTMC we will use Generalized PHT distributions. For the first ones, where a single regime is considered, the reference paper is [35], while its extension to regime-switching Markov modeling can be found at [25, Chapter 3.2]. In the thesis a structural credit risk modeling is studied using these algorithms, since in many scenarios it is crucial to start from the real evolution of the asset of interest to understand its possible future developments; in particular, we compare and examine both the EM procedures in this framework and in our analysis we observe the impacts of adding regime-switching features on the accuracy of our modeling.

La descrizione dei modelli di Markov con cambio di regime e le loro applicazioni a problemi di finanza quantitativa costituiscono il duplice fine di questa tesi. Il contributo di questo lavoro è l’implementazione delle tecniche spiegate in [25], che possono essere suddivise in due modalità a seconda dell’impianto iniziale e dello scopo dell’analisi. Il primo approccio si basa sull’approssimazione di un generico modello di Markov con cambio di regime attraverso una corrispondente catena di Markov a tempo continuo e la conseguente unione della dinamica della variabile di stato insieme al processo stocastico che descrive la transizione tra i regimi, con la risultante riduzione della dimensionalità del modello. In questo caso, ogni regime viene esaminato individualmente tramite l’elegante schema sviluppato in [3] ed infine i diversi operatori vengono combinati seguendo [25, Teorema 1] per ottenere la complessiva matrice dei tassi di transizione della RS-CTMC. Un naturale campo di applicazione per questo metodo è la valutazione di un prezzo equo per le opzioni finanziarie, sia plain vanilla che esotiche, poiché la dinamica del sottostante viene spesso esaminata utilizzando alcuni processi di Markov noti. Il secondo approccio viene utilizzato quando si considera una serie temporale di dati relativi ad un asset scambiato sui mercati finanziari, per poter adattare ad essa una adeguata distribuzione, sulla base di un algoritmo di massimizzazione delle aspettative che calcola la log-verosimiglianza secondo un criterio di informazione. In questo caso, si utilizzeranno le distribuzioni relative ai tempi di primo passaggio di una CTMC, dette distribuzioni di tipo fase, mentre per l’adattamento di una RS-CTMC impiegheremo distribuzioni dette di tipo fase generalizzate. Per sviluppare l’algoritmo relativo alla prima categoria, dove si considera un unico regime, il documento di riferimento è [35], mentre la sua estensione alla modellizzazione di Markov con cambio di regime può essere ritrovata in [25, Capitolo 3.2]. Nella tesi viene studiata una modellizzazione strutturale del rischio di credito utilizzando questi algoritmi, poiché in molti scenari è fondamentale partire dall’evoluzione reale dell’attività di interesse per comprenderne i possibili sviluppi futuri; in particolare, in questa applicazione si confrontano e si esaminano entrambe le procedure di massimizzazione del valore atteso e nella nostra analisi si osservano gli impatti dell’aggiunta della possibilità di cambio di regime sulla bontà del modello.