Methodology development for ground resonance stability assessment accounting for non-linearities since early design phases

Developing high detail analysis tools for preliminary rotorcraft design becomes increasingly important. This thesis, written during an internship at Leonardo Helicopters, has the aim to search for the most suitable procedure to determine ground resonance stability considering concentrated non-linearities at early design phases. The Hammond Rotor model ([8]), in its hub-to-blade and inter-blade configuration, is used as a test bench and during the thesis two main approaches are investigated to treat non-linearities. They are studied as uncertainties, Generalized Stability Margin Vector (GSMV) and μ-analysis, or with a quasi-linearization approach, Describing Function (DF). In chapter 3, the GSMV method ([14]) is studied and, after a brief mathematical set up, a test case with uncertain lead-lag dampers is implemented. It is shown how stability maps can be drawn dividing the parameter space in stable and unstable regions. These results can be used to asses the system stability with linear and non-linear dampers. The method shows numerical issues which are acceptable if results are interpreted with a good plant knowledge. The main limitation is that the uncertain parameter number and type are restricted to respectively 2 and C-K couples. In chapter 4, μ-analysis ([13]) is studied which is typical for robust control theory. The same workflow as for the GSMV is followed and analogous stability parameter maps are drawn. In this case, there are no limitations on how many and which uncertain parameters can be considered. In the end, the DF approach ([1]) is presented. After the main mathematics is explained, a test case is discussed in which non-linear dampers are mounted on the hub. This methodology has the great advantage to directly provide information of where, in the rotor speed envelope, limit cycles develop and also to predict their frequencies, amplitudes and stability properties. In conclusion, the GSMV and μ-analysis are quite interchangeable to assess stability, even if the second one has wider application scenarios. For limit cycle investigation the DF approach should be preferred.

Questa tesi, scritta durante uno stage in Leonardo Elicotteri, si pone l’obiettivo di investigare il miglior procedimento per valutare la stabilità del fenomeno di risonanza a terra durante le prime fasi di progetto considerando non-linearità concentrate. Il modello del rotore di Hammond ([8]), nella sua configurazione mozzo-pala e pala-pala, è usato come banco prova e due principali approcci sono implementati per studiare le non-linearità. Sono trattate come incertezze, metodo del Vettore Margine di Stabilità Generalizzato (VMSG) e μ-analysis, oppure con una approssimazione detta "quasi-lineare", approccio della Funzione descrittiva (FD). Nel capitolo 3 è studiato il metodo del VMSG ([14]) e, dopo le fondamenta matematiche, è studiato un caso di prova con incertezza sugli smorzatori di ritardo della pala. Verrà mostrato come è possibile tracciare mappe di stabilità nello spazio parametrico per poi caratterizzare la stabilità di sistemi con smorzatori lineari e non. Sono stati riscontrati alcuni problemi numerici, ma sono considerati accettabili se l’interpretazione dei risultati è accompagnata da una buona conoscenza del sistema. La più grande limitazione è che i gradi di libertà incerti possono essere al massimo due e solo del tipo C-K, ossia uno smorzamento e una rigidezza. Nel capitolo 4, si studia la μ-analysis, tipica della teoria di controllo robusta. Si usa lo stesso procedimento che per il metodo del VMSG e le stesse mappe sono riprodotte. In queso caso però non ci sono limitazioni sui gradi di libertà incerti. Infine è presentato l’approccio della FD. Dopo che le basi matematiche sono presentate, viene trattato un caso prova con smorzatori non-lineari sulla parte fissa. Questa metodologia fornisce direttamente informazioni su dove, nell’inviluppo di velocita del rotore, sono da aspettarsi cicli limite e la loro frequenza, ampezza e stabilità. In conclusione, il metodo del VMSG e la μ-analysis possono essere interscambiabili, anche se la seconda opzione si apre ad applicazioni più generali. Per l’analisi di ciclo limite, è preferibile l’approccio della FD.