Learning nonlinear model predictive controllers and virtual sensors with Koopman operator approximation

Model Predictive Control is an industry-standard technique used to drive systems based on their internal dynamics. When not all states are directly measurable, a state estimator, such as the Extended Kalman Filter, is employed to achieve control over the complete system state. Nevertheless, when the system of interest is nonlinear, these two methods combined result in a computationally heavy control strategy, significantly raising the cost of implementing it online. In this document, a data-driven strategy based on Koopman Operator theory is presented to identify and replicate the approximate dynamics of the Extended Kalman Filter coupled with a Model Predictive Controller in a resource-efficient scheme. Given a known model of the plant used to tune an Extended Kalman Filter feeding the state values to a Model Predictive Control law designed beforehand, a closed-loop operation data-set is generated from this reference control scheme; then, a finite-dimensional approximation of the model is applied on the filter/controller dynamics in a lifted space of observables; finally, the stability of the identified controller is evaluated both through spectral analysis and closed-loop simulations; in case the desired response has not yet been achieved, the identification process is performed iteratively with a progressively increasing regularization coefficient. The technique was evaluated on two benchmark systems, the forced Van der Pol oscillator and the forced Duffing oscillator, where the resulting identified controllers were able to reduce the execution time by three orders of magnitude with respect to that of the reference control scheme while keeping the tracking error increase below 6.5% for constant reference inputs in the best performing identified controllers across both evaluated systems.

Il Controllo Predittivo basato su Modello è una tecnica standard nella industria utilizzata per azionare i sistemi in base alla loro dinamica interna. Quando non tutti gli stati sono direttamente misurabili, si ricorre a uno stimatore di stato, come il Filtro di Kalman Esteso, per ottenere il controllo sullo stato completo del sistema. Tuttavia, quando il sistema di interesse è non-lineare, questi due metodi combinati danno luogo a una strategia di controllo onerosa dal punto di vista computazionale, aumentando significativamente il costo dell'implementazione in tempo reale. In questo documento, viene presentata una strategia data-driven basata sulla teoria dell'operatore di Koopman per identificare e replicare un'approssimazione della dinamica del Filtro di Kalman Esteso accoppiato a un Controllore Predittivo basato su Modello in uno schema computazionalmente efficiente. Dato un modello conosciuto del sistema controllato utilizzato per sintonizzare un Filtro di Kalman Esteso che alimenta i valori di stato a una legge di Controllo Predittivo basato su Modello progettata in precedenza, viene generato un insieme di dati di funzionamento ad anello chiuso da questo schema di controllo di riferimento; dopo, viene applicata un'approssimazione in dimensione finita del modello alla dinamica del filtro/controllore in uno spazio espanso di osservabili; infine, la stabilità del controllore identificato viene valutata sia attraverso l'analisi spettrale che attraverso simulazioni ad anello chiuso; nel caso in cui la risposta desiderata non sia ancora stata raggiunta, il processo di identificazione viene eseguito iterativamente con un coefficiente di regolarizzazione progressivamente crescente. La tecnica è stata valutata su due sistemi di riferimento, l'oscillatore forzato di Van der Pol e l'oscillatore forzato di Duffing, dove i controllori identificati risultanti sono stati in grado di ridurre il tempo di esecuzione di tre ordini di grandezza rispetto a quello dello schema di controllo di riferimento, mantenendo l'aumento dell'errore di inseguimento al di sotto di 6,5% per signali di riferimento costanti nei controllori identificati con le migliori prestazioni in entrambi i sistemi valutati.