Modeling spatial anisotropy via regression with differential penalization and parameter cascading algorithm

This thesis focuses on the analysis of spatial data characterized by anisotropy. The general framework considered is the Spatial Regression with Partial Differential Regularisation (SR-PDE) where, in addition to the available data, a partial differential equation (PDE) is considered to model a spatial variable of interest. The PDE provides a precise and faithful physical description of spatial behaviours and allows to achieve more reliable, accurate and robust predictions. Since a prior information about the underlying physics may be missing or uncertain or, again, impossible to retrieve in complex real cases, this thesis proposes a method called Parameter Cascading algorithm to derive the anisotropic differential operator in the regularizing term of SR-PDE from collected data. In particular, the parameters within the diffusion-advection-reaction equation in SR-PDE will be estimated. Several simulation studies and two real applications will be analyzed to prove the benefits and properties of this approach: in all the tests performed, the application of Parameter Cascading approximates very well the anisotropy structure present in the data and increases the quality of the results at the price of a higher computational effort. Therefore, this work allows anyone to make the most of the descriptive capabilities of SR-PDE and to get insights about the underlying physical behaviour of the phenomenon under study: data is the only ingredient required, while physical prior knowledge is no longer strictly necessary.

Questo lavoro di tesi si concentra sull’analisi di dati spaziali caratterizzati da anisotropia. Il modello considerato è di Regressione Spaziale con Regolarizzazione a Equazioni alle Derivate Parziali (SR-PDE) dove, in aggiunta ai dati disponibili, un’equazione alle derivate parziali (EDP) è utilizzata per modellizzare una variabile spaziale di interesse. Le EDP descrivono possibili dipendenze spaziali in maniera precisa e fedele; inoltre, consentono di ottenere stime più accurate e robuste. Dato che informazioni a priori sulla fisica che caratterizza il problema studiato potrebbero essere sconosciute, mancanti o impossibili da trovare, questo lavoro di tesi propone un metodo per stimare direttamente dai dati l’operatore differenziale anisotropo presente nel termine di regolarizzazione di SR-PDE. In particolare, i parametri dell’equazione di diffusione-reazione-trasporto in SR-PDE verranno considerati. Diverse simulazioni e due problemi reali saranno analizzati per verificare le proprietà e i vantaggi dell’algoritmo proposto: in tutti i test effettuati, il nuovo metodo approssima fedelmente l’anisotropia presente nei dati e migliora la qualità dei risultati al prezzo di un costo computazionale più elevato. Questo lavoro permette a chiunque di sfruttare al meglio le capacità descrittive di SR-PDE e di ottenere informazioni sulla fisica del fenomeno analizzato: i dati sono l’unico ingrediente richiesto, mentre un modello fisico a priori non è più strettamente necessario.