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POLITesi - Archivio digitale delle tesi di laurea e di dottorato

This thesis discusses calibrating and pricing options under two non-affine stochastic volatility of the modified Heston type: the 4/2 and 4/2 jump-diffusion models , two recent extensions of the 3/2 and 3/2 jump-diffusion models to include the Heston (1993) and Bates (1996) models. In Chapter 1, the necessity and history of volatility modelling is briefly summarised. In this section, several pros and cons of adopting different approaches to volatility models are treated, where an argument is made for choosing non-affine stochastic volatility models over other modern-day approaches. A brief reminder of the features and mathematical formalism of the original affine stochastic volatility models by Heston (1993) and Bates (1996) is done since these are later used to benchmark the performance of their non-affine counterparts. In Chapter 2, the first non-affine diffusion model is presented as outlined by the original paper by Grasselli (2016) . Here, the 4/2 model's stochastic differential equations are laid out and this set of equations is then solved in integral-representation. Additionally, the 4/2 is shown to have a Feller condition similar to that of Heston's model derived by the approach shown in Drimus (2011) for the 3/2 model. The sufficient conditions necessary to ensure martingale pricing are then presented using this Feller conditions, before finally deriving the model's Fourier-Laplace transform and presenting a set of sufficient conditions ensuring it is well-behaved on an analytical strip. In Chapter 3, the 4/2 model's jump-diffusion extension is presented following the paper by Lin et al. (2017) . As per before, its stochastic differential equations are then presented in integral-representation, before deriving its own Feller condition and sufficient conditions for martingale pricing. Finally, the 4/2 jump diffusion model's Fourier-Laplace transform is derived in a similar manner to its diffusion-only twin, where again, sufficient conditions to ensure its well-posedness in an analytical strip are given. Following the theoretical introduction of the previous sections, Chapter 4 contains the main contribution of this thesis, where the practical difficulties in pricing and calibrating these models, as well as the methodology to overcome these problems, is presented. To find the model prices necessary for the calibration, Fourier pricing methods, such as those outlined and popularised in Carr-Madan (1999) and Lewis (2001) , are adopted. During this step, the two main difficulties in pricing with the 4/2 and 4/2 jump-diffusion models are brought to light. Firstly, an initial difficulty arose in the form numerical instabilities due to the confluent hypergeometric function's asymptotic expansion, needed to efficiently evaluate the Fourier-Laplace transforms of the two non-affine models during pricing. As a result of this delicate numerical implementation, the fine-tuning procedure needed to achieve a convergence of the numerical integrals necessary to price and calibrate via the Lewis and Carr-Madan formulas is discussed. In addition to this, the second difficulty overcome in the thesis is that of "respecting" the highly non-linear parameter inequalities needed to remain on the Fourier-Laplace transform's analytical strip. As will become evident, these sufficient conditions on the parameters are possible to implement in MATLAB's non-linear least-squares algorithm so instead a two-step methodology to find the minimising model parameters was adopted. Knowing these are only sufficient conditions, MATLAB's genetic algorithm (a global minimisation algorithm) is used to find via trial-and-error many candidate minima, which avoid blowing-up the evaluation of the characteristic functions, thus interrupting the minimisation. Using these many candidate minima, a regular least-squares minimisation with MATLAB's Levenberg-Marquadt's algorithm is then performed using the candidates as initial guesses. Additionally, given the high number of parameters and functions, this two-step methodology also has the advantage of exploring a large number of parameter combinations and a greater chance of identifying the true global minimum instead of a local minimum. At this point, the numerical results are presented, through which the affine Heston and Bates models are compared to their 4/2 and 4/2 jump diffusion non-affine counterparts. Here, the evaluation of the model performance is done in two stages using three datasets of equity index options: one on the EUROSTOXX600 and one on the SPX500. Firstly, a calibration is on each dataset, where the models are compared on their ability to reproduce the implied volatility curve of the market options and their average pricing errors (MAPE, RMSE, ARPE). Following this, an in-depth comparison using the largest dataset of the three is done on the basis of their relative option pricing errors. Here, the pricing error analysis is performed for both a whole-dataset calibration as well as by an out-of-sample test, where forty-percent of options are held back during the calibration phase before proceeding with option pricing and error estimation on the whole dataset. At last in Chapter 5, the findings are summarised and potential future developments for research on these non-affine stochastic volatility models are suggested. The findings corroborate the excellent pricing performance of the models seen in the papers on the 4/2 by Gnoatto et el. (2020) and Lin et al. (2017) . This becomes especially evident during the out-of-sample test, where the two non-affine models can accurately price options and match the market implied volatility curve even though they are calibrated on a severely restricted dataset.

Questa tesi discute la metodologia di pricing e la calibrazione dei modelli 4/2 e 4/2 jump-diffusion, due modelli non-affini a volatilità stocastica. I modelli 4/2 e 3/2 sono estensioni recenti che includono i modelli di Heston (1993) e Bates (1996) con i modelli 3/2 Heston e 3/2 Heston jump-diffusion. Nel Capitolo 1, la storia della modellazione della volatilità e i motivi per la necessità di modelizzarla sono brevemente riassunte. In questa sezione, vengono trattati i pro e contro dall'adozione di approcci diversi ai modelli di volatilità. In oltre, inquesto primo capitolo, si ricordano le caratteristiche e del formalismo matematico dei modelli originali di volatilità stocastica affine di Heston (1993) e Bates (1996) poiché questi sono successivamente utilizzati per confrontare le prestazioni con le loro controparti non-affini. Nel Capitolo 2 viene presentato il primo modello di diffusione non affine seguendo i risultati dal paper originale di Grasselli (2016) . Qui vengono presentate le equazioni differenziali stocastiche del modello 4/2 e questo insieme di equazioni viene quindi risolto in rappresentazione integrale. Inoltre, è stato dimostrato che il 4/2 ha una condizione di Feller simile a quella del modello di Heston derivata dall'approccio mostrato in Drimus (2011) per il modello 3/2. Le condizioni sufficienti necessarie per garantire la martingalità del modello vengono quindi presentate utilizzando queste condizioni di Feller, prima di derivare la trasformata di Fourier-Laplace del modello e presentare una serie di condizioni sufficienti per garantire che sia ben-definita sulla sua striscia analitica. Nel Capitolo 3, l'estensione jump-diffusion del modello 4/2 è presentata seguendo il metodo nel paper di Lin et al. (2017) . Come per il modello 4/2, le equazioni differenziali stocastiche del modello 4/2 con salti vengono presentate e risolte esplicitamente, prima di derivare la sua condizione di Feller e le condizioni sufficienti per la martingalità. Infine, la trasformata di Fourier-Laplace del modello 4/2 con salti è derivata in modo simile al suo gemello, dove sono date le condizioni sufficienti per garantirne la definizione nella sua striscia analitica. Dopo l'introduzione teorica delle sezioni precedenti, il Capitolo 4 contiene il contributo principale di questa tesi, dove vengono presentate le difficoltà pratiche nella determinazione nel prezzaggio e nella calibrazione di questi modelli, e la metodologia usata per superare quest'ultimi. Per trovare i prezzi dei modelli necessari per la calibrazione, vengono adottati metodi di Fourier, come quelli resi popolari in Carr-Madan (1999) e Lewis (2001) . Durante questa fase vengono messe in luce le due principali difficoltà di determinazione del prezzo con i modelli 4/2 e 4/2 con salti. In primo luogo, è emersa una difficoltà iniziale sotto forma di instabilità numeriche dovute all'espansione asintotica della funzione ipergeometrica confluente, necessaria per valutare in modo efficiente le trasformate di Fourier-Laplace dei due modelli non-affini. Qui viene discussa la procedura di tuning necessaria per ottenere una convergenza degli integrali numerici per prezzare e calibrare tramite le formule di Lewis e Carr-Madan. Oltre a ciò, la seconda difficoltà superata nella tesi è quella di "rispettare" le disuguaglianze parametriche altamente non lineari necessarie per rimanere sulla striscia analitica della trasformata di Fourier-Laplace. Come risulterà evidente, queste condizioni sufficienti sui parametri non possono essere implementate nell'algoritmo di minimizzazione MATLAB ed è invece stata adottata una metodologia a due fasi per trovare i parametri del modello. Sapendo che queste sono solo condizioni sufficienti, l'algoritmo genetico di MATLAB (un algoritmo di minimizzazione globale) viene utilizzato tramite un'approccio brute-force per trovare molti minimi candidati come punti iniziali per la minimizzazione tramite least-squares. Qui, i minimi trovati tramite Differential Evolution evitano di rendere indefinita la valutazione delle funzioni caratteristiche al primo punto di valutazione e dunque lasciano procedere la solita minimizzazione least-squares tramite l'algoritmo di Levenberg-Marquadt in MATLAB. Dato l'alto numero di parametri e le due funzioni esotiche nelle funzioni caratteristiche, questa metodologia a due fasi ha anche il vantaggio di esplorare un gran numero di combinazione dei parametri e una maggiore probabilita di identificare il vero minimo globale invece di un minimo locale. A questo punto vengono presentati i risultati numerici, attraverso i quali i modelli affini di Heston e Bates vengono confrontati con le loro controparti non affini a diffusione di salto 4/2 e 4/2 con salti. Qui, la valutazione della performance del modello viene effettuata in due fasi utilizzando tre dataset di opzioni su indici azionari: uno sull'EUROSTOXX600 e uno sull'SPX500. In primo luogo, su ciascun set di dati viene effettuata una calibrazione, in cui i modelli vengono confrontati sulla loro capacità di riprodurre la curva di volatilità implicita delle opzioni di mercato e i loro errori di pricing medi (MAPE, RMSE, ARPE). Successivamente, viene effettuato un confronto approfondito utilizzando il set di dati più grande dei tre sulla base degli errori percentuali di prezzaggio delle opzioni. Qui, l'analisi dell'errore di prezzaggio viene eseguita sia per una calibrazione dell'intero set di dati che per un Qui, la valutazione della performance del modello viene effettuata in due fasi utilizzando tre set di dati di opzioni su indici azionari (l'EUROSTOXX600 e la SPX500). In primo luogo, su ciascun set di dati viene effettuata una calibrazione dove i modelli vengono confrontati sulla loro capacità di riprodurre la curva di volatilità implicita delle opzioni di mercato e i loro errori di pricing medi (MAPE, RMSE, ARPE). Successivamente, viene effettuato un confronto approfondito utilizzando il set di dati più grande dei tre sulla base dell'average relative pricing error (ARPE). In questo caso, l'analisi in base all'ARPE viene eseguita sia per una calibrazione sull'intero intero dataset, che per un out-of-sample test, in cui il quaranta percento delle opzioni viene trattenuto durante la fase di calibrazione prima di procedere con il prezzagio di tutte le opzioni e la stima degli errori di modello sull'intero dataset. Infine, nel Capitolo 5, i risultati sono riassunti e vengono suggeriti potenziali sviluppi futuri per la ricerca su questi modelli di volatilità stocastica non affini. I risultati corroborano l'eccellente performance dei modelli discussi negli articoli sul 4/2 di Gnoatto et el. (2020) e Lin et al. (2017) . Ciò diventa particolarmente evidente durante il test out-of-sample, in cui i due modelli non affini possono valutare accuratamente le opzioni e riprodurre la volatilità implicita del mercato anche se calibrati su un dataset ridotto.

Calibration and pricing under modified Heston non-affine stochastic volatility models

MANNA, ANGELO CORRADO SABINO
2021/2022

Abstract

This thesis discusses calibrating and pricing options under two non-affine stochastic volatility of the modified Heston type: the 4/2 and 4/2 jump-diffusion models , two recent extensions of the 3/2 and 3/2 jump-diffusion models to include the Heston (1993) and Bates (1996) models. In Chapter 1, the necessity and history of volatility modelling is briefly summarised. In this section, several pros and cons of adopting different approaches to volatility models are treated, where an argument is made for choosing non-affine stochastic volatility models over other modern-day approaches. A brief reminder of the features and mathematical formalism of the original affine stochastic volatility models by Heston (1993) and Bates (1996) is done since these are later used to benchmark the performance of their non-affine counterparts. In Chapter 2, the first non-affine diffusion model is presented as outlined by the original paper by Grasselli (2016) . Here, the 4/2 model's stochastic differential equations are laid out and this set of equations is then solved in integral-representation. Additionally, the 4/2 is shown to have a Feller condition similar to that of Heston's model derived by the approach shown in Drimus (2011) for the 3/2 model. The sufficient conditions necessary to ensure martingale pricing are then presented using this Feller conditions, before finally deriving the model's Fourier-Laplace transform and presenting a set of sufficient conditions ensuring it is well-behaved on an analytical strip. In Chapter 3, the 4/2 model's jump-diffusion extension is presented following the paper by Lin et al. (2017) . As per before, its stochastic differential equations are then presented in integral-representation, before deriving its own Feller condition and sufficient conditions for martingale pricing. Finally, the 4/2 jump diffusion model's Fourier-Laplace transform is derived in a similar manner to its diffusion-only twin, where again, sufficient conditions to ensure its well-posedness in an analytical strip are given. Following the theoretical introduction of the previous sections, Chapter 4 contains the main contribution of this thesis, where the practical difficulties in pricing and calibrating these models, as well as the methodology to overcome these problems, is presented. To find the model prices necessary for the calibration, Fourier pricing methods, such as those outlined and popularised in Carr-Madan (1999) and Lewis (2001) , are adopted. During this step, the two main difficulties in pricing with the 4/2 and 4/2 jump-diffusion models are brought to light. Firstly, an initial difficulty arose in the form numerical instabilities due to the confluent hypergeometric function's asymptotic expansion, needed to efficiently evaluate the Fourier-Laplace transforms of the two non-affine models during pricing. As a result of this delicate numerical implementation, the fine-tuning procedure needed to achieve a convergence of the numerical integrals necessary to price and calibrate via the Lewis and Carr-Madan formulas is discussed. In addition to this, the second difficulty overcome in the thesis is that of "respecting" the highly non-linear parameter inequalities needed to remain on the Fourier-Laplace transform's analytical strip. As will become evident, these sufficient conditions on the parameters are possible to implement in MATLAB's non-linear least-squares algorithm so instead a two-step methodology to find the minimising model parameters was adopted. Knowing these are only sufficient conditions, MATLAB's genetic algorithm (a global minimisation algorithm) is used to find via trial-and-error many candidate minima, which avoid blowing-up the evaluation of the characteristic functions, thus interrupting the minimisation. Using these many candidate minima, a regular least-squares minimisation with MATLAB's Levenberg-Marquadt's algorithm is then performed using the candidates as initial guesses. Additionally, given the high number of parameters and functions, this two-step methodology also has the advantage of exploring a large number of parameter combinations and a greater chance of identifying the true global minimum instead of a local minimum. At this point, the numerical results are presented, through which the affine Heston and Bates models are compared to their 4/2 and 4/2 jump diffusion non-affine counterparts. Here, the evaluation of the model performance is done in two stages using three datasets of equity index options: one on the EUROSTOXX600 and one on the SPX500. Firstly, a calibration is on each dataset, where the models are compared on their ability to reproduce the implied volatility curve of the market options and their average pricing errors (MAPE, RMSE, ARPE). Following this, an in-depth comparison using the largest dataset of the three is done on the basis of their relative option pricing errors. Here, the pricing error analysis is performed for both a whole-dataset calibration as well as by an out-of-sample test, where forty-percent of options are held back during the calibration phase before proceeding with option pricing and error estimation on the whole dataset. At last in Chapter 5, the findings are summarised and potential future developments for research on these non-affine stochastic volatility models are suggested. The findings corroborate the excellent pricing performance of the models seen in the papers on the 4/2 by Gnoatto et el. (2020) and Lin et al. (2017) . This becomes especially evident during the out-of-sample test, where the two non-affine models can accurately price options and match the market implied volatility curve even though they are calibrated on a severely restricted dataset.
SGARRA, CARLO
ING - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
6-ott-2022
2021/2022
Questa tesi discute la metodologia di pricing e la calibrazione dei modelli 4/2 e 4/2 jump-diffusion, due modelli non-affini a volatilità stocastica. I modelli 4/2 e 3/2 sono estensioni recenti che includono i modelli di Heston (1993) e Bates (1996) con i modelli 3/2 Heston e 3/2 Heston jump-diffusion. Nel Capitolo 1, la storia della modellazione della volatilità e i motivi per la necessità di modelizzarla sono brevemente riassunte. In questa sezione, vengono trattati i pro e contro dall'adozione di approcci diversi ai modelli di volatilità. In oltre, inquesto primo capitolo, si ricordano le caratteristiche e del formalismo matematico dei modelli originali di volatilità stocastica affine di Heston (1993) e Bates (1996) poiché questi sono successivamente utilizzati per confrontare le prestazioni con le loro controparti non-affini. Nel Capitolo 2 viene presentato il primo modello di diffusione non affine seguendo i risultati dal paper originale di Grasselli (2016) . Qui vengono presentate le equazioni differenziali stocastiche del modello 4/2 e questo insieme di equazioni viene quindi risolto in rappresentazione integrale. Inoltre, è stato dimostrato che il 4/2 ha una condizione di Feller simile a quella del modello di Heston derivata dall'approccio mostrato in Drimus (2011) per il modello 3/2. Le condizioni sufficienti necessarie per garantire la martingalità del modello vengono quindi presentate utilizzando queste condizioni di Feller, prima di derivare la trasformata di Fourier-Laplace del modello e presentare una serie di condizioni sufficienti per garantire che sia ben-definita sulla sua striscia analitica. Nel Capitolo 3, l'estensione jump-diffusion del modello 4/2 è presentata seguendo il metodo nel paper di Lin et al. (2017) . Come per il modello 4/2, le equazioni differenziali stocastiche del modello 4/2 con salti vengono presentate e risolte esplicitamente, prima di derivare la sua condizione di Feller e le condizioni sufficienti per la martingalità. Infine, la trasformata di Fourier-Laplace del modello 4/2 con salti è derivata in modo simile al suo gemello, dove sono date le condizioni sufficienti per garantirne la definizione nella sua striscia analitica. Dopo l'introduzione teorica delle sezioni precedenti, il Capitolo 4 contiene il contributo principale di questa tesi, dove vengono presentate le difficoltà pratiche nella determinazione nel prezzaggio e nella calibrazione di questi modelli, e la metodologia usata per superare quest'ultimi. Per trovare i prezzi dei modelli necessari per la calibrazione, vengono adottati metodi di Fourier, come quelli resi popolari in Carr-Madan (1999) e Lewis (2001) . Durante questa fase vengono messe in luce le due principali difficoltà di determinazione del prezzo con i modelli 4/2 e 4/2 con salti. In primo luogo, è emersa una difficoltà iniziale sotto forma di instabilità numeriche dovute all'espansione asintotica della funzione ipergeometrica confluente, necessaria per valutare in modo efficiente le trasformate di Fourier-Laplace dei due modelli non-affini. Qui viene discussa la procedura di tuning necessaria per ottenere una convergenza degli integrali numerici per prezzare e calibrare tramite le formule di Lewis e Carr-Madan. Oltre a ciò, la seconda difficoltà superata nella tesi è quella di "rispettare" le disuguaglianze parametriche altamente non lineari necessarie per rimanere sulla striscia analitica della trasformata di Fourier-Laplace. Come risulterà evidente, queste condizioni sufficienti sui parametri non possono essere implementate nell'algoritmo di minimizzazione MATLAB ed è invece stata adottata una metodologia a due fasi per trovare i parametri del modello. Sapendo che queste sono solo condizioni sufficienti, l'algoritmo genetico di MATLAB (un algoritmo di minimizzazione globale) viene utilizzato tramite un'approccio brute-force per trovare molti minimi candidati come punti iniziali per la minimizzazione tramite least-squares. Qui, i minimi trovati tramite Differential Evolution evitano di rendere indefinita la valutazione delle funzioni caratteristiche al primo punto di valutazione e dunque lasciano procedere la solita minimizzazione least-squares tramite l'algoritmo di Levenberg-Marquadt in MATLAB. Dato l'alto numero di parametri e le due funzioni esotiche nelle funzioni caratteristiche, questa metodologia a due fasi ha anche il vantaggio di esplorare un gran numero di combinazione dei parametri e una maggiore probabilita di identificare il vero minimo globale invece di un minimo locale. A questo punto vengono presentati i risultati numerici, attraverso i quali i modelli affini di Heston e Bates vengono confrontati con le loro controparti non affini a diffusione di salto 4/2 e 4/2 con salti. Qui, la valutazione della performance del modello viene effettuata in due fasi utilizzando tre dataset di opzioni su indici azionari: uno sull'EUROSTOXX600 e uno sull'SPX500. In primo luogo, su ciascun set di dati viene effettuata una calibrazione, in cui i modelli vengono confrontati sulla loro capacità di riprodurre la curva di volatilità implicita delle opzioni di mercato e i loro errori di pricing medi (MAPE, RMSE, ARPE). Successivamente, viene effettuato un confronto approfondito utilizzando il set di dati più grande dei tre sulla base degli errori percentuali di prezzaggio delle opzioni. Qui, l'analisi dell'errore di prezzaggio viene eseguita sia per una calibrazione dell'intero set di dati che per un Qui, la valutazione della performance del modello viene effettuata in due fasi utilizzando tre set di dati di opzioni su indici azionari (l'EUROSTOXX600 e la SPX500). In primo luogo, su ciascun set di dati viene effettuata una calibrazione dove i modelli vengono confrontati sulla loro capacità di riprodurre la curva di volatilità implicita delle opzioni di mercato e i loro errori di pricing medi (MAPE, RMSE, ARPE). Successivamente, viene effettuato un confronto approfondito utilizzando il set di dati più grande dei tre sulla base dell'average relative pricing error (ARPE). In questo caso, l'analisi in base all'ARPE viene eseguita sia per una calibrazione sull'intero intero dataset, che per un out-of-sample test, in cui il quaranta percento delle opzioni viene trattenuto durante la fase di calibrazione prima di procedere con il prezzagio di tutte le opzioni e la stima degli errori di modello sull'intero dataset. Infine, nel Capitolo 5, i risultati sono riassunti e vengono suggeriti potenziali sviluppi futuri per la ricerca su questi modelli di volatilità stocastica non affini. I risultati corroborano l'eccellente performance dei modelli discussi negli articoli sul 4/2 di Gnoatto et el. (2020) e Lin et al. (2017) . Ciò diventa particolarmente evidente durante il test out-of-sample, in cui i due modelli non affini possono valutare accuratamente le opzioni e riprodurre la volatilità implicita del mercato anche se calibrati su un dataset ridotto.
Tesi di laurea Magistrale
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