Investigation of reduced order models for fracture

Isogeometric Analysis (IGA) is a computational approach used to numerically approximate the solution of Partial Differential Equations (PDEs). The key idea of IGA is the isogeometric concept, for which the same basis functions are used to represent both the geometry and the finite-dimensional space where the numerical solution lies. Compared to classical Finite Element Analysis (FEA), NURBS-based IGA allows to exactly represent the physical domain at any refinement level, and it is particularly suited for parametrized geometries. In this context, solving a parametrized PDE for a large number of parameters might lead to a prohibitive computational cost. Therefore, in this work we consider the Reduced Basis (RB) method, which allows the creation of an efficient and accurate solver by constructing an approximate lower dimensional space for the solution. This is performed during the offline phase, whereas in the online phase we assemble a low dimensional system for the new value of the parameter. The standard approach to RB requires an affine dependence of the system matrix on the parameter, which is not the case when dealing with parametrized domains. Therefore we construct an approximate affine decomposition of the matrix using the Matrix Discrete Empirical Interpolation Method (MDEIM). The problems we consider in this work present parameter-dependent discontinuities, which are difficult to reduce and therefore require a large number of affine terms and basis functions, nullifying the speed gain of the RB method. To solve this issue we employ a local affine decomposition and reduced basis based on clustering using the k-means algorithm. For the fracture problem, we employ the eXtended IGA (X-IGA) method to properly describe the discontinuities of the displacement around the crack. The linear system resulting from this method has a variable dimension depending on the crack position, therefore it prevents us from using the MDEIM. We have to rely instead on a non-intrusive approach such as the Radial Basis Function (RBF) interpolation combined with the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in order to construct the ROM. Finally, we present the results for Poisson's equation and the fracture problem showing the accuracy and speedup compared to the High Fidelity (HF) problem.

L'Analisi Isogeometrica (IGA) è un approccio computazionale utilizzato per approssimare numericamente la soluzione di una Equazione alle Derivate Parziali (PDEs). L'idea chiave di IGA è il concetto isoparametrico, secondo cui le stesse funzioni di base sono utilizzate per rappresentare sia la geometria che lo spazio finito dimensionale dove si trova la soluzione approssimata. Le scelte comuni per le funzioni di base sono B-splines e Non-Uniform Rational B-splines (NURBS); le ultime saranno quelle utilizzate in questo lavoro. A differenza della più classica Analisi agli Elementi Finiti (FEA), IGA basato su NURBS permette di rappresentare esattamente il dominio a qualsiasi livello di raffinamento, ed è particolarmente adatto per le geometrie parametrizzate. In questo contesto, risolvere una PDE parametrizzata per molti valori dei parametri potrebbe portare a un costo computazionale insostenibile. In questo lavoro consideriamo quindi il metodo alle Basi Ridotte (RB), il quale permette di creare un risolutore preciso e efficiente tramite la costruzione di un appropriato spazio per la soluzione di dimensione minore rispetto a quello di partenza. Questa operazione è svolata durante la cosidetta fase offline, mentre durante la fase online viene assemblato il sistema lineare ridotto per il nuovo valore del parametro. L'approccio standard delle basi ridotte richiede una dipendenza affine della matrice del sistema lineare rispetto ai parametri, il che non è valido quando si ha a che fare con domini parametrizzati. Quindi costruiamo una decomposizione affine approssimata utilizzando il Matrix Discrete Empirical Interpolation Method (MDEIM). I problemi considerati in questo lavoro presentano delle discontinuità dipendenti da un parametro, il che li rende difficili da ridurre e quindi richiedo un grande numero di termini affini e funzioni di base, annullando il vataggio ottenuto con le basi ridotte. Per risolvere questo problema, impieghiamo una decomposizione affine e base ridotta locale, basandosi sul clustering ottenuto tramite l'algoritmo k-means. Per il problema della frattura, utilizziamo il metodo eXtended IGA (XIGA) per descrivere accuratamente la discontinuità dello spostamento attorno alla crepa. Il sistema lineare risultante da questo metodo ha una dimensione variabile a seconda della posizione della crepa, quindi ci impedisce di usare il MDEIM. Utilizziamo quindi un metodo non intrusivo come l'interpolazione tramite Radial Basis Functions (RBF) combinata con la Proper Orthogonal Decomposition (POD) per costruire il modello di ordine ridotto (ROM). Infine, presentiamo i risultati per l'equazione di Poissone e il problema della frattura confrontando la precisione e le performance con il modello High Fidelity (HF).