Greeks computation via low-rank tensor approximation for Chebyshev interpolation

In the field of risk management, properly computing the Greeks is a fundamental task of paramount importance. The Greeks represent the sensitivity of a derivative’s price with respect to a change in the underlying contract’s parameters and are regularly used by traders to hedge their portfolios against market movement. As a result of the central role the Greeks play, the development of fast, accurate and robust methods to efficiently calculate these sensitives lies at the forefront of research in the industry. Here, one of the early and standard approaches for their numerical evaluation was via Finite Differences paired with a Monte Carlo simulation. However, when dealing with options with complex payoffs, it becomes difficult to find a fast and accurate approximation of Greeks, mainly due to the bias-variance trade-off. Recent improvements, such as Adjoint Algorithmic Differentiation, works on first order Greeks but are unfortunately uneffective on second order one. In this thesis, Chebyshev interpolation techniques are applied to the computation of Delta, Gamma and Cross-Gamma, to overcome the problem that arises when simple Finite Differences are adopted and to improve their stability. However, when dealing with multi-asset equity products, Chebyshev interpolation techniques are affected by the curse of dimensionality. To overcome the inability of constructing a tensorized grid of Chebyshev nodes, we make use of a dimensionality reduction technique for an efficient treatment of high-dimensional problems. Here, the technique exploits a simple non-recursive form of the tensor decomposition, called Tensor Train format: this method yields an efficient way to implement all basic operations, such as the inner product, and reduces the Greek computation’s run-time as well as the storage capacity, all while maintaining the required level of accuracy. This procedure, which allows for the accurate approximation of coefficients needed for the Chebyshev interpolation, is extended to compute Delta, Gamma and Cross-Gamma for equity Basket Option in a multi-dimensional parameters space.

Il calcolo delle Greche è fondamentale nell’ambito del risk management. Queste quantità rappresentano la sensibilità del prezzo di opzioni derivate rispetto a movimenti di certi parametri sottostanti e sono quotidianamente usate dai trader per coprire i loro portafogli rispetto a possibili movimenti nel mercato. Come risultato del ruolo centrale che le Greche rivestono, nasce la necessità di trovare un modo per calcolarle in maniera veloce, accurata e robusta. Il metodo standard per il loro calcolo è tramite Differenze Finite e simulazioni Monte Carlo. Tuttavia, quando si considerano opzioni con payoff complessi, è difficile trovare un risultato veloce e accurato per approssimare le Greche, a causa del trade-off tra bias e varianza. Recentementi miglioramenti, come gli Adjoint Algoritmic Differentiation, funzionano per le Greche di primo ordine ma non sono efficaci per quelle di secondo. In questa tesi, l’interpolazione di Chebyshev è applicata al calcolo di Delta, Gamma e Cross-Gamma, mostrando come affrontare il problema di bias e varianza che sorge quando viene utilizzato il metodo delle Differenze Finite. Tuttavia, nel caso di prodotti multi-asset, questo metodo è affetto dal problema della dimensionalità. Per questa ragione, dato che non è più possibile costruire una griglia tensoriale con i punti di Chebyshev, viene estesa un tecnica di riduzione della dimensionalità al calcolo delle Greche, trattando in maniera efficace problemi multidimensionali. Usiamo una forma semplice e non ricorsiva di decomposizione tensoriale, chiamata Tensor Train format, che permette di implementare in maniera efficiente tutte le operazioni base, come il prodotto scalare, di diminuire il tempo computazionale e lo spazio necessario a memorizzare i tensori mantenendo allo stesso tempo il livello di accuratezza richiesto. Tramite questa procedura, è possibile ottenere un’approssimazione accurata dei coefficienti necessari per l’interpolazione di Chebyshev. Questo metodo viene esteso al calcolo di Delta, Gamma e Cross-Gamma per Basket Option in uno spazio parametrico di 10 dimensioni.