Bilinear optimal control for thermal cloaking and diffusivity estimation : analysis and approximation

In this thesis we tackle the mathematical analysis and the numerical approximation of bilinear optimal control problems for the heat equation including a control term in the diffusion coefficient. This problem is motivated by two different applications, related with thermal cloaking and identification of material properties. First of all, we revisit the concept of thermal cloaking; proposing a passive cloaking device that can be used to hide an arbitrary obstacle from a source trying to locate it or to protect a sensitive part of an electrical circuit. The design of the cloak is framed as an optimal control problem for partial differential equations, which is analyzed in detail. Then, we carry out optimization in MATLAB®, relying on a Finite Element approximation, and on the Lagrangian method to solve both the stationary and the time-dependent problem. To increase the flexibility of the cloak, we consider different shapes of the object to hide and we apply various thermal fields. We show the limitations that the passive cloak presents emphasizing which shapes of the cloak do not provide satisfactory results and which do. The previous model has been reframed for the estimation of the unknown diffusivity of an object. Several candidate diffusivities have been considered and we have been able to reconstruct satisfactory versions of the actual diffusivity even carrying on temperature measurements in a limited portion of the domain. Future research will involve the creation of a Reduced order model (ROM) to increase the computational speedup, envisaging the possibility to use our procedure in time-dependent real-tife applications. The numerical validation of our work could be addressed as well trying to compare these results with the ones achievable with, e.g., Comsol Multiphysics®.

In questo lavoro viene trattata l’analisi matematica e numerica di un Problema di Controllo Ottimo (PCO) vincolato dall’equazione del calore, una Equazione a Derivate Parziali (EDP). Il termine di controllo è nel coefficiente di diffusione, il che rende il problema non lineare. Questo problema è motivato da due applicazioni legate alla progettazione di mantelli termici e all’identificazione delle proprietà di un materiale. Inizialmente viene proposta la soluzione del problema allo scopo della creazione di un mantello termico passivo; un dispositivo usato per impedire che un oggetto, una volta circondato dal mantello, venga localizzato da una sonda che percepisce il campo di temperatura attorno ad esso. Il mantello, modificando opportunamente il coefficiente di diffusione del materiale, è in grado di "nascondere" l’oggetto rendendo indistinguibili i campi di temperatura in presenza o in assenza di esso. La progettazione del mantello è basata su un PCO per EDP, la cui buona posizione è analizzata nel dettaglio. Successivamente, la parte numerica del problema è affrontata su MATLAB®, usando un’approssimazione basata sul metodo a Elementi Finiti e sui moltiplicatori di Lagrange per risolvere il problema stazionario prima e tempo dipendente poi. Vengono trattate diverse forme dell’oggetto da nascondere/proteggere e diversi profili di temperatura a cui esso è sottoposto. Nella seconda parte si affronta il problema di stima del coefficiente di diffusione di un materiale attraverso la misura della sua temperatura. Il PCO è il duale del precedente problema e la sua analisi viene condotta sottolineando le differenze dal caso precedente. Vengono considerate diverse zone in cui sono effettuate le misurazioni e diverse espressioni del coefficiente di diffusione.