A mathematical model for Alzheimer's disease based on the Smoluchowski equation with fractional laplacian

Alzheimer's disease is nowadays the most common form of senile dementia, with deep consequences on the entire society. It is thought to be triggered by the accumulation in the brain of two proteins, Amyloid-beta and tau. They have an important role in healthy individuals, helping synaptic activity, sustaining the neuronal structure and guaranteeing the neuronal transport of molecules. The process and causes of emergence of the pathology are still unclear, but in recent years general consensus has been built on the "Amyloid cascade hypotesis", which states that for still unknown reasons, Amyloid-beta starts accumulating in insoluble, long polymers. They in turn trigger the phosphorylation of tau, whose aggregation causes the formation of the so-called neurofibrillary tangles (NFTs). This process leads to damage at neuronal and synaptic level which are responsible for the cognitive decline observed in Alzheimer's disease patients. The evolution in time and space of the concentration of Amyloid-beta polymers in a portion of cerebral tissue may be modeled through the coagulation-fragmentation Smoluchowski equation. It was originally proposed to describe the coagulation of colloidal particles, but it has been extended and applied to various branches of science, such as chemistry, aerosol science, astrophysics and polymers science. However, to the best of our knowledge, all the models proposed in literature assume that the considered particles undergo a process of normal diffusion. In this thesis, we develop a model based on the Smoluchowski equation with fractional Laplacian for the description of the evolution in time and space of the concentration of Amyloid-beta proteins in a bounded domain with homogeneous Neumann boundary conditions. The use of the fractional Laplacian in our model is justified by the fact that Amyloid-beta is preferentially released at brain nodes and connections between these nodes represent preferential routes for its spreading. Furthermore, we prove existence and boundedness in suitable norms of the solutions of our model.

La malattia di Alzheimer è al giorno d'oggi la forma più comune di demenza senile, con profonde conseguenze sull'intera società, ed è probabilmente causata dall'accumulazione nel cervello di due proteine, beta-Amiloide e tau. Il loro ruolo è molto importante negli individui sani, in quanto la prima aiuta l'attività delle sinapsi, la seconda sostiene la struttura neuronale e garantisce il trasporto di molecole lungo i neuroni. Le cause dell'insorgenza della malattia di Alzheimer non sono ancora chiare, ma negli ultimi anni l'"Ipotesi Amiloide" ha raccolto sempre più consenso. Essa afferma che, per ragioni ancora sconosciute, la beta-Amiloide inizia ad accumularsi in polimeri lunghi e insolubili. A loro volta, essi innescano la fosforilazione della tau, la cui condensazione provoca la formazione dei grovigli neurofibrillari (NFTs). Tale processo produce danni a livello neuronale e sinaptico, responsabili del declino cognitivo osservato nei pazienti affetti da Alzheimer. L'evoluzione nel tempo e nello spazio della concentrazione di polimeri di beta-Amiloide in una regione di tessuto cerebrale può essere modellata dall'equazione di Smoluchowski. Essa fu originariamente proposta per descrivere la coagulazione di particelle colloidali, ma è stata successivamente applicata a diversi ambiti scientifici, quali la chimica, l'astrofisica e la scienza dei polimeri. Tuttavia, abbiamo riscontrato che i modelli proposti in letteratura ipotizzano che le particelle considerate evolvano secondo un processo di diffusione normale. In questa tesi, sviluppiamo un modello basato sull'equazione di Smoluchowski con Laplaciano frazionario per la descrizione dell'evoluzione in tempo e spazio della concentrazione delle particelle di beta-Amiloide in un dominio limitato con condizioni al contorno di Neumann omogenee. L'uso del Laplaciano frazionario nel nostro modello è giustificato dal fatto che la beta-Amiloide è principalmente rilasciata in corrispondenza delle sinapsi e le connessioni tra di esse rappresentano le corsie preferenziali per la sua diffusione. Inoltre, dimostriamo l'esistenza e la limitatezza in norme opportune delle soluzioni del nostro modello.