Numerical methods for the mathematical heart-torso model: toward the efficient generation of electrocardiograms

Computer-based numerical simulations of the cardiac electrical activity can play an important role in understanding cardiac events, diagnosing heart diseases, and generating additional clinical data. They are based on rigorous and accurate mathematical models able to faithfully reproduce physical phenomena at different scales, and can match clinical outputs such as electrocardiograms (ECGs). The intrinsic multi-scale and multi-physics nature of cardiac electrophysiology requires however to achieve a trade-off between the accuracy of the models and their computational efficiency. In this thesis, I propose a rigorous mathematical setting for simulating cardiac electrophysiology, as well as clinical outputs of interest like the most widely used 12-lead ECG system. The latter is modeled by means of a coupled multi-physics system, termed heart-torso model. I investigate the solution of this coupled problem in terms of numerical performances and accuracy by employing both Domain-Decomposition iterations and monolithic scheme, for a range of different anatomical geometries. Since the ECG is strongly dependent on the geometrical shape and position of the heart within the human body, I address the problem - almost never tackled before in a systematic way - of evaluating the impact of the geometrical properties of the torso domain on the ECGs. To this end (i) I introduce a set of geometrical transformations on the cardiac geometry to simulate the uncertainty due to the imaging acquisition process, and compute the ECG while prescribing the solution of the electrophysiology problem, and (ii) I develop an electromechanical model for both the heart and the torso, able to account for the myocardial contraction in the ECG. In this thesis I also develop and implement efficient reduced order strategies to enhance numerical efficiency in cardiac electrophysiology, e.g. when multi-query simulations are carried out to assess the ECG dependency from electrophysiological parameters. Model order reduction of coupled problems has rarely been addressed. I first propose, verify and test a reduced basis method relying on Proper Orthogonal Decomposition and Discrete Empirical Interpolation to reduce coupled problems when both conforming and non-conforming finite element approximations are used as full-order models. Finally, I test the proposed reduced order strategies on the cardiac electrophysiology problem, as well as in the case of a coupled heart-torso model, where capturing the sharp traveling front due to the electrical activation in a parameter-dependent scenario is a challenging task. The mathematical approach that I propose in this thesis can represent an important step towards the construction of personalized models in cardiac electrophysiology, that require the synergistic use of trustworthy mathematical models with efficient and scalable numerical strategies.

Le simulazioni numeriche dell’attività elettrica del cuore possono avere un importante ruolo nella comprensione delle sue funzionalità, così come nella diagnosi di malattie cardiache e nella generazione di dati clinici. Esse sono basate su modelli matematici rigorosi e accurati, in grado di riprodurre fedelmente sia fenomeni bioelettrici complessi, che risultati clinici di interesse, come gli elettrocardiogrammi (ECG). Tuttavia, a causa dell’intrinseca natura multi-scala e multi-fisica di tali fenomeni elettrofisiologici, è necessario individuare un compromesso fra l’accuratezza dei modelli matematici e la loro efficienza computazionale. In questa tesi, viene proposto un rigoroso ambiente matematico con lo scopo di simulare fenomeni di elettrofisiologia cardiaca e risultati clinici di interesse, come il più ampiamente utilizzato ECG a 12 derivazioni. Quest’ultimo può essere rappresentato mediante un sistema accoppiato muli-fisica, chiamato modello cuore-torso. La risoluzione di tale modello viene, quindi, investigata in termini di prestazioni numeriche e accuratezza, implementando sia iterazioni di tipo Dirichlet-Neumann, che uno schema monolitico, e considerando diverse geometrie anatomiche. Poiché l’ECG è fortemente dipendente dalla forma e dalla posizione della geometria cardiaca all’interno del corpo umano, in questa tesi viene affrontato il problema - quasi mai trattato in maniera sistematica prima d’ora - dell’impatto delle proprietà geometriche del torso sugli ECG. A tal fine (i) viene introdotto un insieme di trasformazioni rigide sul dominio cardiaco per simulare l’incertezza dei risultati dovuta al processo di acquisizione di imaging, e viene calcolato l’ECG prescrivendo la soluzione elettrofisiologica, e in seguito, (ii) viene sviluppato un modello elettro-meccanico sia per il cuore che per il torso, in grado di descrivere l’effetto della contrazione del miocardio sull’ECG. In questa tesi vengono, inoltre, sviluppate e implementate strategie di riduzione d’ordine di modello per poter rendere più efficiente la risoluzione numerica dei problemi di elettrofisiologia cardiaca, con lo scopo, ad esempio, di valutare la dipendenza dell’ECG dai parametri elettrofisiologici attraverso simulazioni multi-query. La riduzione d’ordine di modelli accoppiati è stata, infatti, affrontata raramente. Inizialmente, propongo, verifico e testo un metodo a basi ridotte che utilizza la Proper Orthogonal Decomposition e la Discrete Empirical Interpolation per ridurre problemi accoppiati quando, nei corrispondenti modelli full-order, approssimazioni agli elementi finiti, sia conformi che non-conformi, sono usate. Infine, tale strategia di riduzione viene applicata al caso dei modelli di elettrofisiologia cardiaca, così come al caso del modello accoppiato cuore-torso, le cui soluzioni, generate dall’attivazione elettrica, sono difficili da rappresentare al variare del parametro di interesse tramite modelli di ordine ridotto poiché sono descritte da fronti in movimento e forti gradienti. L’approccio matematico proposto in questa tesi può, dunque, rappresentare un importante passo in avanti nella costruzione di modelli personalizzati di elettrofisiologia cardiaca, basati sull’utilizzo sinergico di modelli matematici affidabili e strategie numeriche scalabili.