Discretization methods : an application to an economic model illustrating environment substitution

One of the most discussed topics over the last decade, both by the scientific community and public opinion, has been environmental degradation and its consequences. This phenomenon is mainly caused by industries and motor vehicles, that largely contribute to the introduction in the atmosphere of harmful pollutants. In the long run this has caused a significant change: temperatures are continuously rising and cities are more and more polluted, inducing people to buy private goods in order to temporarily restore the living conditions they used to have. This substitution phenomena and the progressive environmental degradation can be modelled by a continuous time dynamical system, but this formulation does not take into account two aspects: firstly, decision making and business plans of governments and companies do not happen at every real instant of time, but have a specific timing; secondly, data is usually collected periodically and not continuously. For these reasons, the aim is to obtain a discrete time formulation of the model by keeping the dynamics of the original system unchanged and, to do so, Nearly Exact Discretization Schemes (NEDS) are used. In the following work, NEDS will be applied and both an analytical and numerical analysis will be done in order to study the stability, limit cycles and bifurcations of the new system and to compare them with those of their continuous counterparts. The study shows how in both frameworks there exists two distinct equilibrium values, where one of them may have an attractive behaviour that leads the agents to a poverty trap.

Nell’ultimo decennio, il degrado ambientale e le relative conseguenze sono tra i temi maggiormente discussi dalla comunità scientifica e di forte impatto sull’opinione pubblica. Alla base di questo fenomeno ci sono prevalentemente industrie e veicoli a motore, che contribuiscono significativamente ad introdurre nell’atmosfera inquinanti nocivi. A lungo andare ciò ha portato a considerevoli cambiamenti: temperature in continuo aumento e città sempre più inquinate hanno indotto molti ad investire in beni privati che permettano di ripristinare, seppur temporaneamente, un benessere ormai svanito. Questo fenomeno di sostituzione e il progressivo degrado ambientale, sono modellizzati da un sistema dinamico a tempo continuo, che però non tiene in considerazione due aspetti fondamentali: governi e società non prendono provvedimenti e decisioni in ogni istante temporale ma in periodi ben definiti; in secondo luogo, la raccolta di dati reali avviene periodicamente e non a tempo continuo. Per queste ragioni, lo scopo di questa tesi è quello di ottenere una formulazione a tempo discreto del modello originale che ne lasci invariate le dinamiche; per farlo verranno sfruttati i Nearly Exact Discretization Schemes (NEDS). Successivamente verrà condotto uno studio sia analitico sia numerico per studiare stabilità, cicli limite e biforcazioni del nuovo modello e confrontare i risultati con quelli ottenuti a tempo continuo. L’analisi mostra come, in entrambi gli scenari, esistano due punti di equilibrio distinti e, in particolare, l’equilibrio con la minor quantità di risorsa ambientale possa mostrare comportamento attrattivo.