Theoretical analysis and numerical simulations of the Darcy-Allen-Cahn system

The subject of this thesis is an analysis of the Darcy-Allen-Cahn (DAC) system: a diffuse-interface model for multi-phase incompressible flows. We provide first a theoretical analysis, focusing on the existence of global weak solutions in dimensions 2 and 3. Then, we present a numerical scheme, based on the finite element method, together with the results of some numerical tests. Although some numerical works are available in the literature, a mathematical analysis of the model is still missing and with this work we aims to provide a first step towards a rigorous theoretical analysis. After presenting the model, we state and prove the existence of global weak solution for the mass conserving DAC system with Flory-Huggins potential. Besides being the most physical relevant choice of the potential, the Flory-Huggins potential ensures that, under suitable assumptions on the initial condition, the concentration ϕ is confined in [−1, 1], which is the physically relevant interval. On the other hand, it makes the mathematical analysis more challenging due to the singularities that occur at the pure phases. We also state and prove the existence of global weak solutions for the Extended Darcy- Allen-Cahn (EDAC) system with regular (polynomial) potential. The Extended Darcy equation is obtained adding an inertial term τ∂tu to the Darcy law. The regular potential (which, unlike the Flory-Huggins potential, approximates the entropies of the mixtures) does not guarantee that the concentration stays in the physically relevant range. As a compromise, in order to recover this important property, we drop the mass conservation constraint so that we can exploit a specific lemma. Then, we recover the existence of global weak solutions to the DAC system with regular potential studying the limit τ → 0+ in the Extended Darcy equation. Concerning the numerical part of this work, we present a numerical scheme, implemented in FreeFem++, aiming to solve the EDAC system by means of finite element method and we show the results obtained on three numerical tests with different initial conditions. Contrarily to the numerical works available in the literature on the DAC system, we treat the surface tension term in the Darcy equation in a weak sense, coherently with the weak formulation analyzed in the theoretical part of this thesis.

L’oggetto di questa tesi è un’analisi del sistema di Darcy-Allen-Cahn (DAC): un modello ad interfaccia diffusa per flussi multifase incomprimibili. Forniamo prima un’analisi teorica, concentrandoci sull’esistenza di soluzioni deboli globali in dimensione 2 e 3. Successivamente, presentiamo uno schema numerico, basato sul metodo agli elementi finiti, insieme ai risultati di alcuni test numerici. Nonostante in letteratura siano disponibili alcuni lavori di natura numerica, manca ancora un’analisi matematica del modello e con questo lavoro abbiamo l’obiettivo di compiere un primo passo verso un’analisi teorica rigorosa. Dopo aver presentato il modello, enunciamo e dimostriamo l’esistenza di soluzioni deboli globali per il sistema di DAC con conservazione della massa e potenziale di Flory-Huggins. Oltre ad essere la scelta fisicamente più rilevante per il potentiale, il potenziale di Flory-Huggins assicura che, sotto opportune ipotesi sulla condizione iniziale, la concentrazione ϕ è confinata in [−1, 1], che è l’intervallo fisicamente rilevante. D’altra parte, rende l’analisi matematica più complessa a causa delle singolarità delle fasi pure. Enunciamo e dimostriamo anche l’esistenza di soluzioni deboli globali per il sistema di Darcy-Allen-Cahn Esteso (EDAC) con potenziale regolare (polinomiale). L’equazione di Darcy estesa è ottenuta aggiungendo un termine inerziale τ∂tu alla legge di Darcy. Il potenziale regolare (che, contrariamente al potenziale di Flory-Huggins, approssima l’entropia della miscela) non garantisce che la concentrazione stia nell’intervallo fisicamente rilevante. Come compromesso, in modo da recuperare questa importante proprietà, rinunciamo al vincolo sulla conservazione della massa in modo da poter sfruttare un lemma specifico. Dopodichè, recuperiamo l’esistenza di soluzioni deboli globali per il sistema di DAC con potentiale regolare studiando il limite τ → 0+ nell’equazione di Darcy Estesa. Riguardo alla parte numerica di questo lavoro, presentiamo uno schema numerico, implementato in FreeFem++, con l’obiettivo di risolvere il sistema di EDAC utilizzando il metodo agli elementi finiti e mostriamo i risultati ottenuti su tre test numerici utilizzando differenti condizioni iniziali. Contrariamente ai lavori numerici disponibili in letteratura sul sistema di DAC, trattiamo il termine di tensione superficiale nell’equazione di Darcy in senso debole, coerentemente con la formulazione debole analizzata nella parte teorica di questa tesi.