A Deep-learning approach for the SUPG discretization of advection-diffusion problems

Advection--diffusion differential problems are of particular interest in the scientific community as they are often used for applications in several fields, such as computational fluid dynamics. In problems of this nature, when the transport phenomenon dominates over the diffusion one, finite elements modeling is hampered by spurious numerical oscillations. In order to mitigate such numerical instabilities it is favourable to employ stabilized finite element methods such as the Streamline Upwind Petrov-Galerkin stabilization method, an approach mainly characterized by a stabilization whose optimal tuning is still subject of research. Although this stabilization parameter can be properly defined for very simplified problems, there is no formulation capable of generalizing to more complex problems. In this thesis, we consider a problem for which the stabilization parameter is known under specific conditions, to then build a neural network model capable of predicting the optimal value of this parameter in a set of configurations for which a suitable estimate is not known a priori. The dataset used for the artificial neural network (ANN) training was generated by solving an optimization problem for each sample, where the objective function to be minimized is a suitable norm of the difference between the exact and the numerical solution. Each sample of the dataset consists of a set of inputs identifying the specific problem on which the optimization procedure is applied, with a specific numerical scheme and the Pèclet number which measures the importance of the advection parameter over the diffusion one, and an output value being the result of the optimization, i.e. the optimal estimate of the stabilization parameter in the configuration under investigation. By means of that, the model is trained to predict the optimal value of the parameter depending on both the characteristics of the numerical scheme and the Pèclet number. Exploiting this procedure, more accurate numerical solutions have been obtained compared to other strategies present in the literature. Furthermore, the neural network model has been tested on a series of model problems different from the reference one, with the aim of addressing the generality of the proposed approach.

I problemi differenziali di diffusione e trasporto riscontrano particolare interesse nella comunità scientifica in quanto spesso utilizzati per applicazioni in diversi campi, principalmente in fluidodinamica computazionale. In problemi di questo genere, quando il fenomeno del trasporto risulta dominante rispetto alla componente diffusiva, la modellazione agli elementi finiti presenta oscillazioni numeriche. Per mitigare tali instabilità numeriche è necessario implementare opportuni metodi di stabilizzazione, come ad esempio il metodo di stabilizzazione Streamline Upwind Petrov-Galerkin. Tale approccio è caratterizzato da un parametro di stabilizzazione la cui scelta ottimale è ancora oggi ambito di ricerca. Sebbene il parametro di stabilizzazione ottimale possa essere costruito per problemi semplificati, non esiste in generale una sua definizione ottimale per problemi più complessi. In questo lavoro di tesi si è deciso di considerare un problema per cui il parametro di stabilizzazione è noto sotto specifiche condizioni, per poi costruire una rete neurale in grado di predirre il valore di ottimo di tale parametro nelle diverse condizioni per cui non si conosce a priori una stima corretta. Il dataset utilizzato per il training della rete è stato generato risolvendo un problema di ottimizzazione per ogni campione, dove la funzione obiettivo da minimizzare è la differenza tra la soluzione esatta e la soluzione numerica. Ogni campione del dataset è costituito da un set di input in grado di identificare lo specifico problema su cui si applica la procedura di ottimizzazione, con un determinato schema numerico e un definito rapporto tra diffusione e trasporto, ed un valore di output che è il risultato dell'ottimizzazione, ovvero la stima ottimale del parametro di stabilizzazione nella configurazione esaminata. Con l'approccio proposto il modello viene allenato a riconoscere il valore ottimale del parametro di stabilizzazione a seconda delle caratteristiche dello schema numerico e dei contributi di trasporto e diffusione. Con questo procedimento sono state raggiunte soluzioni numeriche più accurate rispetto ad altre strategie presenti in letteratura. Inoltre il modello di rete è stato testato su problemi di diffusione e trasporto diversi da quello di riferimento con l'obiettivo di testare la generalità dello schema studiato.