A Wave Digital Hierarchical Quasi-Newton Method for Virtual Analog Modeling

Recently, a Wave Digital Newton-Raphson (WDNR) method has been proposed for the emulation of audio circuits in Virtual Analog applications. The approach exploits a global Newton-Raphson (NR) method for solving Wave Digital (WD) structures composed of one single junction to which all the elements are connected. In this work, we aim at applying the same methodology to hierarchical WD structures characterized by multiple junctions, organized in a tree-like fashion. We first show how it is possible to solve such structures by means of a global NR solver. Then, we prove that we must consider a Quasi-Newton method in order to modularly apply local iterative solvers for addressing the scattering of all the junctions composing the WD structure. In fact, by studying the global NR solver, it is possible to demonstrate that only Quasi-Newton approximations allow us to order and distribute the computation among different levels of the hierarchical structure. We also propose to employ vector waves to decompose the topology, avoiding thus delay-free loops that may arise in highly-connected circuits. After discussing and testing different Quasi-Newton approximations, we successfully employ the proposed methodology for the emulation of a section of an analog synthesizer, obtaining a higher convergence speed with respect to fixed-point methods in terms of number of iterations.

Un nuovo metodo, basato su un risolutore Newton-Raphson (NR) nel dominio dei Filtri Digitali ad Onda Numerica (Wave Digital), è stato recentemente proposto per l'emulazione digitale di circuiti analogici. Tale metodo sfrutta un risolutore NR globale per la risoluzione di strutture Wave Digital costituite da una sola giunzione. L'obiettivo di questo lavoro di tesi è estendere l'applicabilità dello stesso risolutore a strutture gerarchice costituite da molteplici giunzioni, organizzate in strutture ad albero. Inizialmente dimostriamo come sia possibile risolvere anche queste strutture con un risolutore globale di tipo NR. Successivamente dimostriamo come sia necessario ricondursi a metodi Quasi-Newton per poter applicare in maniera modulare risolutori locali iterativi a tutte le giunzioni costituenti la struttura ad albero. Infatti, studiando il risolutore globale introdotto, si dimostra come, per poter suddividere la computazione nei diversi livelli della struttura gerarchica, sia necessario introdurre delle approssimazioni, rientrando quindi nella classe dei metodi Quasi-Newton. In questo lavoro proponiamo inoltre l'utilizzo di porte vettoriali per scomporre la topologia, evitando cicli privi di elementi di ritardo che potrebbero comparire in circuiti con un alto grado di interconnessioni. Dopo aver presentato e testato diverse approssimazioni Quasi-Newton, il metodo proposto è stato utilizzato con successo per l'emulazione di una sezione di un sintetizzatore analogico, ottenendo una velocità di convergenza maggiore rispetto a metodi al punto fisso in termini di numero di iterazioni medio.