Mathematical models and methods of multi-physics biological systems

Mathematical models, due to their ability of unveiling biological mechanisms and their utility in studying new therapies, are of great importance in life sciences and medicine. In particular, mathematical-physical modeling is extremely effective in describing the peculiar nonlinear and non-equilibrium response of biological and bio-engineered tissues and, more generally, of soft matter. This thesis focuses on mathematical models and methods of multi-physics systems through their application to several biological problems. We set our theoretical framework in the field of nonlinear partial differential models to capture the complex behavior of such open thermomechanical systems both from the perspective of their spatio-temporal evolution and of their quasi-static equilibrium states. In the first part, we propose evolutive partial differential equation (PDE) models for the description of open multi-physics systems that are out of thermodynamic equilibrium, characterized by the presence of mass and energy fluxes through the interfaces, and evolving according to maximum dissipation principles. Within this framework, we exploit a diffuse interface approach to study the evolution of systems described as multiphasic mixtures of immiscible components. We recur to perturbation techniques to perform a qualitative analysis on the behavior of the solution. Furthermore, we propose robust schemes for their numerical approximation, integrating experimental data to quantitatively test the reliability of the predictions. In this regard, the major contributions concern two novel models for describing the healing of an epithelial wound and the response of murine models of prostatic cancer to a new protocol of immunotherapy. In the second part, we address three distinct bio-inspired boundary values problems in non-linear elasticity for prestressed and active matter. We exploit perturbation techniques to study the dimensional reduction and the morphological transitions in the solution of non-standard classes of nonlinear elastic materials, i.e. Foppl-von Karman equations for prestressed elastic plates and the active response of axons to chemo-mechanical stimuli. Moreover, we develop a new numerical approach to the creasing instability that underlies the formation of sulci in the brain cortex, proposing a new and robust framework to simulate in a quasi-static manner the onset and development of self-contact in a free surface subjected to a critical compression.

I modelli matematici sono di grande importanza nelle scienze biologiche e in medicina per via della loro capacità di svelare meccanismi biologici sconosciuti e per il loro potenziale utilità nello sviluppo di nuove terapie. In particolare, la modellistica matematico-fisica è estremamente efficace nel descrivere la risposta non-lineare e di non-equilibrio che caratterizza i tessuti biologici e bio-ingegnerizzati e, più in generale, della materia sofficie. Questa tesi si concentra sullo studio di modelli e metodi matematici di sistemi multi-fisici nel contesto della loro applicazione a diversi problemi biologici. I modelli differenziali a derivare parziali non lineari costituiscono il quadro teorico necessario per catturare la natura di tali sistemi sia dal punto di vista della loro evoluzione spazio-temporale che dello studio degli equilibri. Nella prima parte della tesi, proponiamo modelli evolutivi di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) per la descrizione di sistemi multifisici aperti, fuori equilibrio termodinamico, caratterizzati dalla presenza di scambi di massa ed energia attraverso le interfacce e che evolvono secondo principi di massima dissipazione. In questo contesto, sfruttiamo un approccio ad interfaccia diffusa per studiare l'evoluzione di sistemi descritti attraverso miscele formate da componenti immiscibili. In particolare, ricorriamo a tecniche perturbative per condurre un'analisi qualitativa del comportamento della soluzione. Inoltre, proponiamo schemi numerici robusti affiancati dall'integrazione di dati sperimentali per verificare quantitativamente l'affidabilità delle previsioni dei modelli proposti. A questo proposito, i contributi principali riguardano due nuovi modelli per descrivere la rimarginazione di una ferita epiteliale e la risposta ad un nuovo protocollo di immunoterapia del cancro alla prostata nel topo. Nella seconda parte della tesi, affrontiamo tre distinti problemi differenziali ispirati ad applicazioni biologiche nel contesto della teoria dell elasticità non-lineare per la materia precompressa e attiva. Sfruttiamo tecniche perturbative per studiare le transizioni morfologiche in classi non standard di materiali elastici non-lineari, un esempio sono le equazioni di Foppl-von Karman per piastre elastiche precompresse e lo studio della risposta attiva degli assoni a stimoli chemo-meccanici. Infine, sviluppiamo un nuovo approccio numerico per lo studio dell'instabilità nota con il nome di creasing, la quale è alla base della formazione dei solchi della corteccia cerebrale. In questo contesto proponiamo un nuovo e robusto approccio computazionale per simulare in modo quasi statico l'insorgenza e lo sviluppo dell'autocontatto in una superficie libera sottoposta a una compressione critica.