Asymptotic homogenization of metamaterials and metaplates : linear and nonlinear behaviour

Metamaterials are artificial materials that have attracted a lot of interest thanks to their peculiar properties, which are provided by their designed microstructure rather than their constituent materials. They typically have periodic or almost-periodic heterogeneities, which can be voids or different materials, whose characteristic size is far below the global dimension of the macroscopic media. This aspect could represent a problem in finite element simulations of metamaterials, where the computational burden may be huge due to the fine mesh that would be required to discretize the microstructure. A possible solution is constituted by homogenization techniques, which are a family of methods that are able to characterize the macroscopic effective behaviour of metamaterials starting from their specific microstructure. The two-scale asymptotic homogenization method is a well-founded mathematical technique that in linear problems allows obtaining an explicit expression of the effective properties and, in some particular cases, closed-form analytical solution. The present work aims to exploit its potentialities in the linear analysis of metamaterials and to explore possible extensions to nonlinear problems, both for periodic solid media and periodic structural elements such as plates. In the first part of the work, asymptotic homogenization is employed for the static characterization of periodic solids in the linear regime. When sources of nonlinearity arise, we discuss how, in some cases, linear asymptotic homogenization can still be employed. Then, a computational micromorphic homogenization scheme is considered for the static characterization of hyperelastic materials in large displacements. In the second part, we apply asymptotic homogenization to study the effective behaviour of periodic plates. The method is employed to characterize both the linear and nonlinear static regime of metaplates, as well as the dynamic behaviour of locally resonant plates. The homogenization procedure is applied throughout the work to several reference problems, which helps to emphasise the possible advantages of the method both in terms of accuracy and in terms of computational time.

I metamateriali sono materiali artificiali che hanno destato grande interesse grazie alle loro proprietà peculiari, le quali sono determinate dalla loro particolare microstruttura piuttosto che dai materiali costituenti. Tipicamente, i metamateriali sono caratterizzati da una ripetizione periodica o quasi-periodica di eterogeneità, che possono essere vuoti o materiali differenti, la cui dimensione caratteristica è molto inferiore rispetto alle dimensioni globali del mezzo macroscopico. Quest'ultimo aspetto può rappresentare un problema nelle simulazioni numeriche di metamateriali tramite elementi finiti, dove la fitta discretizzazione, necessaria per una corretta descrizione della loro microstruttura, accresce considerevolmente l'onere computazionale. Una possibile soluzione è quella fornita dalle tecniche di omogeneizzazione, ovvero da quei metodi che consentono di caratterizzare il comportamento globale equivalente del metamateriale sulla base della sua specifica microstruttura. L'omogeneizzazione asintotica a due scale è una tecnica ben fondata dal punto di vista matematico, che consente di ottenere una formulazione esplicita delle proprietà equivalenti e, in alcuni casi particolari, una loro espressione analitica in forma chiusa. Lo scopo del presente lavoro è quello di sfruttare le potenzialità di questa tecnica per studiare il comportamento lineare di metamateriali e di esplorare alcune possibili estensioni a problemi non lineari, sia per quanto riguarda solidi periodici sia per elementi strutturali periodici come, ad esempio, le piastre. Nella prima parte di questo lavoro l'omogeneizzazione asintotica è impiegata per studiare il comportamento lineare di metamateriali in regime statico. Viene poi discusso come in alcuni casi l'omogeneizzazione lineare possa ancora essere applicata quando fenomeni non lineari vengono introdotti. Successivamente, una possibile tecnica di omogeneizzazione numerica micromorfa viene utilizzata per la caratterizzazione statica di metamateriali iperelastici in grandi spostamenti. Nella seconda parte, invece, l'omogeneizzazione asintotica è adoperata per studiare sia il comportamento statico lineare e non lineare di piastre periodiche, sia il comportamento dinamico di piastre localmente risonanti. All'interno della tesi la tecnica di omogeneizzazione è applicata a diversi problemi di riferimento, che consentono di enfatizzare i suoi possibili vantaggi tanto in termini di accuratezza quanto in quelli di onere computazionale.