Continuous-Time Path-Dependent Volatility-Models

The latest research developments dealing with volatility modelling have been driven and inspired by some recently observed stylized facts of historical time series, mainly related to different expressions of their asymmetry under time reversal. The motivating purpose of most part of these models is however related to a pricing context, and in particular to the challenging joint SPX and VIX calibration problem, that so far has been addressed mainly by means of rough volatility models (and not always with satisfactory results). The volatility model that will be discussed in the following chapters arises from the attempt to embed the so called Zumbach effect, namely the dependency of volatility on past returns: to this end, the instantaneous volatility is modelled as an endogenous process, depending solely on the past history of returns and squared returns, with no need of any additional random source. Noticeably, a relevant aspect that sets the model apart from the above mentioned category of rough models is the fact that, for a limited set of maturities, it can be equivalently expressed in terms of a small set of Markov processes, enabling fast simulation with Monte Carlo techniques. This work will cover the implementation of Monte Carlo algorithms, empirically analysing the process dynamics and investigating how different modelling features influence the produced implied volatility surface. Specifically, making use of Monte Carlo techniques, we will calibrate the model over multiple maturities, comparing results corresponding to progressively wider time horizons. We will also show how the model allows to effectively encode the Zumbach effect and to produce the positive VIX skew actually observed on the market, suggesting a possible path to jointly calibrate SPX and VIX surfaces coupling Monte Carlo methods and regression techniques.

Gli ultimi sviluppi della ricerca riguardanti la modellizzazione dei processi di volatilità sono stati ispirati da alcuni fatti stilizzati recentemente emersi dallo studio delle serie storiche. Lo scopo ultimo di tali modelli è tuttavia da legarsi al loro utilizzo in contesti di pricing, e, più nel dettaglio, al problema della calibrazione congiunta di volatilità implicite derivanti da opzioni definite rispettivamente sugli indici S&P500 e VIX; questione questa ancora non del tutto risolta, e che fino ad ora è stata principalmente affrontata mediante l’utilizzo di modelli di tipo rough, sebbene non sempre con risultati soddisfacenti. Il modello di volatilità che verrà discusso nei prossimi capitoli deriva dal tentativo di includere da un punto di vista modellistico il cosiddetto effetto Zumbach, la cui principale espressione è la dipendenza, empiricamente osservata, della volatilità dai ritorni passati. A questo fine la volatilità istantanea viene descritta come un processo puramente endogeno, dipendente unicamente dalla storia passata dei ritorni, senza l’introduzione di un ulteriore moto Browniano. Un tratto distintivo di tale modello rispetto alla precitata categoria di modelli rough è il fatto che, per orizzonti temporali opportunamente scelti, possa essere espresso in maniera equivalente mediante l’utilizzo di un set di processi markoviani, in modo tale da permetterne una veloce simulazione tramite metodi Monte Carlo. In questo progetto di Tesi verrà trattata l’implementazione di algoritmi Monte Carlo al fine di analizzare empiricamente le dinamiche dei processi e la maniera in cui le diverse componenti del modello influenzano le superfici di volatilità che ne risultano. Calibreremo inoltre il modello mediante l’utilizzo di tecniche Monte Carlo, considerando smiles di volatilità implicita corrispondenti a più scadenze contemporaneamente e confrontando i risultati ottenuti per diversi orizzonti temporali. Mostreremo che il modello permette effettivamente di riprodurre l’effetto Zumbach e di dare luogo agli smiles di volatilità implicita per i derivati del VIX osservati sul mercato; suggeriremo infine un possibile metodo per gestire la calibrazione congiunta di smiles SPX e VIX combinando metodi Monte Carlo e tecniche di regressione.