algebraic multigrid methods for arbitrarily regular virtual element discretizations

The strong motivation to this thesis is the requirement for high flexibility of generic shape meshes when dealing with real life problems. This would allow the treatment of complex geometries and data features and a simpler meshing of the domain, including local mesh adaptivity and non conforming grids. This explains the increasing interest on numerical methods with discretization based on arbitrarily polytopic meshes. In this thesis we focus on the Virtual Element Method (VEM) which is PDE discretization method allowing polygonal and polyhedral meshes and the application to more general real problems. The fundamental virtual element idea is that operators and matrices are computed directly in terms of the degrees of freedom, without requiring the explicit knowledge of the local shape functions. Here we focus on the efficient solution of the linear system of equations deriving from the VEM discretization of the Laplace problem. The issue to face is the increase in the condition number at the increase of both the mesh refinement and the polygonal order of accuracy of the method. The idea proposed in this thesis is the Algebraic multigrid (AMG). This method is based on multigrid principles, without exploiting problem geometry, but using only the entries of the system matrix, so it is useful in problems discretized on unstructured grids. We want to exploit it when are considered the very general polygonal meshes shapes allowed by VEM. In particular the aim of this thesis is to investigate the effectiveness of AMG/CG (the approach of using AMG as preconditioner for the conjugate gradient) when applied to the linear system associated with VEM discretization of the Lapace problem. Our analysis is mainly related to its potential scalability with the size of the problem and also the behaviour at the increase of the C-regularity and of the polynomial degree considered. The results of the thesis work show that using AMG preconditioners is a promising approach. When dealing with the increase of both C-regularity and polynomial degree, the condition number of the linear system explodes, AMG does not preserve scalability and loses its efficiency as preconditioner. The use of AMG/CG can be a worthy area of future research and investigation.

La forte motivazione di questa tesi è la richiesta di elevata flessibilità di griglie di forma generica quando si considerano problemi reali. Questo permetterebbe la trattazione di geometrie e dati complessi e una discretizzazione più semplice del dominio, inclusi adattamento locale della griglia e griglie non conformi. Questo spiega il crescente interesse in metodi numerici con discretizzazioni basate su griglie poligonali arbitrarie. In questa tesi ci concentriamo sul Metodo degli Elementi Virtuali (VEM) che è un metodo di discretizzazione delle equazioni alle derivate parziali che permette l'uso di griglie poligonali e poliedriche e l'applicazione a problemi reali più generali. L'idea fondamentale degli elementi virtuali è che gli operatori e le matrici sono calcolati direttamente in termini di gradi di libertà, senza richiedere la conoscenza esplicita delle funzioni di base locali. In questo lavoro ci focalizziamo sulla risoluzione efficiente del sistema linare derivante dalla discretizzazione a elementi virtuali del problema di Laplace. La questione da risolvere è il crescere del numero di condizonamento all'aumentare sia della discretizzazione della griglia che del grado polinomiale di accuratezza del metodo. L'idea proposta in questa tesi è il metodo multigriglia algebrico (AMG). Questo metodo è basato su principi multigriglia, senza sfruttare la geometria del problema, ma usando solo i coefficienti della matrice del sistema, quindi è utile in problemi discretizzati su griglie non strutturate. Noi vogliamo sfruttarlo quando consideriamo le griglie di forme polinogonali generiche ammesse dai VEM. In particolare lo scopo della tesi è investigare l'efficienza del meotodo AMG/CG (l'approccio di usare AMG come precondizionatore per il gradiente coniugato) quando applicato al sistema lineare associato alla discretizzazione VEM del problema di Laplace. La nostra analisi è soprattutto relativa alla sua potenziale scalabilità con la dimensione del problema e anche al comportamento all'aumentare della regolarità e del grado polinomiale considerati. I risultai del lavoro di tesi mostrano che usare precondizionatori AMG è un approccio promettente. Quando si considera l'aumentare sia della regolarità che del grado polinomiale, il numero di condizonamento del sistema lineare esplode, AMG non preserva la scalabilità e perde la sua efficienza come precondizionatore. L'uso di AMG/CG può essere una meritevole area di ricerca e investigazione futura.