TDOA-based localization model with four sensors

In this work we develop a deterministic model for the planar localization of a source emitting a signal that propagates uniformly in the space, using some sensors. This is performed through a map collecting the Time Differences of Arrival of the signal detected by each couple of sensors. In order to localize the source, this map has to be inverted. The work "A comprehensive analysis of the geometry of TDOA maps in localisation problems" proves that, using 3 sensors, the least possible number that allows the localization in a plane, there is a large unbounded area in which the localization is ambiguous and so, not successful. Our aim is to check if, with the addition of a sensor, the TDOA model can locate the source in any case, or if there are loci where the localization remains ambiguous. Another important topic is to investigate if the location of the forth sensor plays a role. We rely on the measurement from all the four sensors to develop a new model, which depends on the configuration of the signal receivers. The analysis of this settings is performed using some mathematical tools, like algebraic and differential geometry, abstract algebra, calculus, and projective spaces. We also perform a preliminary analysis in noisy environments, in order to validate the proposed model.

In questo lavoro sviluppiamo un modello deterministico per la localizzazione di una sorgente, che emette un segnale che si propaga uniformemente in un piano, tramite dei sensori. Il nostro modello si basa, in funzione della posizione della sorgente, sulla misurazione della differenza temporale di arrivo (TDOA) del segnale, in ogni coppia di sensori. Per localizzare la sorgente a partire dalle misurazioni, tale mappa va invertita. L'articolo "A comprehensive analysis of the geometry of TDOA maps in localisation problems" prova che utilizzando 3 sensori, ovvero il minimo necessario affinchè si possa effettivamente individuare la posizione di una sorgente, c'è una vasta e illimitata regione del piano in cui la localizzazione è ambigua, e quindi inefficiente. Il nostro obiettivo è capire se, aggiungendo un sensore in più alla configurazione, il modello TDOA riesce a individuare la posizione della sorgente in ogni caso, oppure se ci siano luoghi in cui la localizzazione rimane ambigua. Inoltre, è importante investigare che impatto abbia la scelta della posizione del quarto sensore sull'efficacia della localizzazione. Tramite le misurazioni rilevate da tutti e 4 i sensori, abbiamo sviluppato un nuovo modello, che si basa esclusivamente sulla posizione degli stessi. Il nostro lavoro è svolto tramite l'utilizzo di alcuni strumenti matematici, quali la geometria algebrica e differenziale, algebra astratta, calcolo differenziale e spazi proiettivi. Abbiamo anche svolto un'analisi statistica preliminare, aggiungendo ai TDOA del rumore, per verificare la risposta del modello in possibili casi reali.