Long-time analysis of nonlinear nonlocal systems of PDEs modeling suspension bridges with piers

We address a fully damped and forced nonlinear beam-wave coupled system of evolution PDEs, modeling the dynamics of a degenerate plate with internal piers under the action of external sources. The solution has two components: the first one describes the longitudinal motion of the plate and satisfies a beam-type equation, while the second one represents the torsional oscillations and solves a wave-type equation. After showing the well-posedness of the problem, we prove the boundedness of the solution in presence of bounded forcing terms and their asymptotic convergence to zero if no forcings act. Subsequently, we tackle some undamped and partially damped versions of the original system, arising when the damping is either absent or concentrated on the longitudinal component only. Particular attention is devoted to the case when the damping and also the forcing term act only on the longitudinal component. For this problem, we show that the vertical displacement of the plate remains bounded in absence of torsional oscillations, but in the general case we highlight that the classical methods used throughout the work to prove the boundedness results cannot be applied. Finally, we introduce a finite-dimensional version of the considered systems and we illustrate the main asymptotic properties of the solutions through some numerical simulations.

In questa tesi, studiamo un sistema non lineare accoppiato completamente smorzato e forzato di EDP evolutive che modella la dinamica di una piastra degenere con pilastri intermedi, sotto l'azione di sorgenti esterne. La soluzione possiede due componenti: la prima descrive i movimenti longitudinali della piastra e soddisfa un'equazione di tipo trave, mentre la seconda rappresenta le oscillazioni torsionali e risolve un'equazione di tipo onde. Dopo aver mostrato che il problema è ben posto, proviamo la limitatezza delle soluzioni in presenza di termini forzanti limitati e la loro convergenza a zero se non agiscono forzanti. Successivamente, affrontiamo alcune versioni senza smorzamento o con smorzamento parziale del sistema originario. Particolare attenzione viene dedicata al caso in cui lo smorzamento e il termine forzante agiscono soltanto sulla componente longitudinale. Per questo problema, proviamo che lo spostamento longitudinale della piastra rimane limitato in assenza di oscillazioni torsionali, ma nel caso generale mostriamo che i metodi classici sviluppati in questo lavoro per provare i risultati di limitatezza non possono essere applicati. Infine, introduciamo una versione finito-dimensionale dei sistemi considerati e illustriamo le principali proprietà asintotiche delle soluzioni tramite alcune simulazioni numeriche.