Forward self-similar solutions for the forced 3D Navier-Stokes equations

In this Master Project, we consider the 3D Navier-Stokes equations with a self-similar forcing, and construct forward self-similar Leray solutions arising from such a force. The category of solutions that we analyze has a special relevance, thanks to their natural link with the steady Navier-Stokes system, for which interesting insights on non-uniqueness emerged. The strategy we employ is a combination of the arguments proposed by Jia and Šverák and Bradshaw and Tsai, consisting in decomposing the solution into a component with finite energy and an auxiliary term with known behavior. Our method consists in the establishment of the necessary a priori estimates to apply topological fixed point theorems on suitably defined operators; unlike Jia and Šverák, we do not refer to Degree Theory and therefore relax hypothesis on forcing and initial datum. The hypothesis on the space-time integrability of the force is dictated by the natural self-similar scaling, and by the necessity to give meaning to a local notion of Leray solutions; in particular, we consider the class of self-similar forces with profile in L^2_{loc} and suitable decay. Our argument can be adapted also to prove existence for general forces in the category that includes the one used to prove non-uniqueness in the groundbreaking recent result by Albritton, Bruè and Colombo.

In questa Tesi, consideriamo le equazioni di Navier-Stokes in 3D con una forzante self-similar, e costruiamo soluzioni di Leray self-similar. La categoria presa in esame ha una rilevanza speciale, grazie al suo legame con il sistema stazionario di Navier-Stokes, per cui sono emersi spunti interessanti sulla non unicità. La strategia impiegata consiste in una combinazione degli argomenti proposti da Jia e Šverák e Bradshaw e Tsai, e prevede la decomposizione della soluzione in una componente ad energia finita e in un termine ausiliario con un comportamento noto. Il nostro metodo consiste nel dimostrare le stime a priori necessarie per applicare teoremi di punto fisso su operatori opportunamente definiti. Diversamente da Jia e Šverák, non utilizziamo la Degree Theory e rilassiamo dunque le ipotesi sulla forza e sul dato iniziale. Le ipotesi sull'integrabilità in spazio e in tempo della forza sono dettate dal naturale scaling self-similar e dalla necessità di garantire la significatività di una nozione locale di soluzioni di Leray. Nello specifico, consideriamo forze self-similar con profilo in L^2_{loc} e idoneo decadimento all'infinito. Il nostro metodo può anche essere adattato per provare l'esistenza di soluzioni con una categoria di forze che include quella proposta per dimostrare la non-unicità nell'innovativo risultato proposto da Albritton, Bruè e Colombo.