Relations into graph automaton semigroups

The interest in the study of automaton semigroups has started growing since the late 2000s, after an initial exclusive focus on automaton groups, and yet we do not have a comprehensive theory behind either of them. The present thesis fits into this context by providing structural results on a subclass of automaton semigroups generated from the topology of graphs. First, the basic theory about automaton semigroups is briefly reviewed as well as the definition of graph automaton semigroup, together with some known results on the subject. Then, the attention moves to the proofs of our main results: while in the tree automata semigroups the existence of every relation is strictly correlated to a simple commutativity property of the elements, for all the other graphs it has been possible to find that there exist relations of elements that cannot be directly traced back to it. Also supported by this result, it has been possible to find the exact topology of the graph whose corresponding automaton semigroup does not show any relation, and therefore the characterization of the class of free graph automaton semigroups has been found.

L'interesse per lo studio degli automaton semigroup ha iniziato a crescere dalla fine degli anni 2000, dopo un'iniziale esclusiva focalizzazione sugli automaton group, eppure non abbiamo ancora una teoria esauriente per nessuno dei due argomenti. Questa tesi si inserisce nel contesto fornendo risultati strutturali su una sottoclasse di automaton semigroup estrapolata dalla topologia dei grafi. In primo luogo, viene presentata brevemente la teoria di base degli automaton semigroup e viene fornita la definizione di graph automaton semigroup, insieme ad alcuni risultati noti sull'argomento. Poi l'attenzione si sposta verso le dimostrazioni dei nostri principali risultati: mentre negli automaton semigroup relativi agli alberi l'esistenza di ogni possibile relazione è strettamente correlata ad una semplice proprietà di commutatività degli elementi, per tutti gli altri grafi è stato possibile provare l'esistenza di relazioni non direttamente riconducibili ad essa. Supportati anche da questo risultato, è stato possibile trovare l'esatta topologia del grafo che non genera alcuna relazione nel corrispondente automaton semigroup, e quindi si è riusciti a trovare la caratterizzazione della classe dei graph automaton semigroup che hanno la proprietà di essere liberi.