Galerkin Neural Network method for Parametric PDEs

We propose a novel method for reduced-order modeling aimed at approximating solutions for parametric partial differential equations. This approach is founded on the iterative generation of a series of finite-dimensional subspaces, which are constructed using neural networks depending on both the spatial domain and the parameter set as basis functions. The finite-dimensional subspaces are subsequently employed to compute a Galerkin approximation for a parameter-enriched variational equation. This algorithm offers several advantages, such as its very fast online phase and its sequential nature, which systematically enhances the accuracy of the approximation. The sequential improvements also serve as a valuable indicator for estimating errors, allowing for the termination of sequential updates when deemed appropriate. Furthermore, the computed solutions exhibit smoothness and do not necessitate interpolation.

Questo lavoro propone un nuovo metodo a basi ridotte per l'approssimazione delle soluzioni di equazioni alle derivate parziali parametriche. Questo approccio si basa sulla generazione iterativa di una sequenza di sottospazi a dimensione finita, costruiti utilizzando reti neurali come funzioni di base, dipendenti sia dal dominio spaziale che dal set di parametri. I sottospazi a dimensione finita vengono successivamente impiegati per calcolare un'approssimazione di Galerkin di un problema variazionale integrato sullo spazio dei parametri. Questo algoritmo offre diversi vantaggi, tra i quali una notevole velocità nella fase online e la sua natura sequenziale, che migliora adattivamente l'accuratezza dell'approssimazione. Alla fine di ciascuna iterazione, è possibile calcolare una stima dell'errore, consentendo lo stop dell'algoritmo quando la tolleranza desiderata è raggiunta. Inoltre, le soluzioni calcolate mantengono la regolarità delle funzioni di attivazione e non richiedono interpolazione.