Analisi del modello a volatilità stocastica 4/2

Since the 90s, stochastic volatility models, in which the volatility of securities is described by an appropriate stochastic process, have been developed in the field of financial mathematics. In 2017 Grasselli introduced the 4/2 stochastic volatility model, which includes as special instances the well-known Heston and 3/2 models. This model is mathematically and numerically tractable, allowing an efficient pricing procedure, for which some already known results from the theory of Lie symmetries for partial differential equations have been adapted and extended. This Master Thesis discusses the study of the 4/2 model as it was initially introduced by Grasselli. In particular, the analysis focuses on the procedure of pricing of European options and an in-depth study of the main features of the model. Chapter 1 briefly discusses the merits and demerits of the main models of interest to this Thesis: first, the Black and Scholes model is presented and, following a brief reminder regarding the theory of stochastic processes, the Heston and 3/2 models are introduced as a natural enhancement. The 4/2 model is presented in Chapter 2: first the various parameters that determine its dynamics are analyzed; next, the martingale property of the discounted price process is analyzed together with the existence of an appropriate risk-neutral probability measure. Therefore, the conditions for the discounted price of the underlying asset to be a strict local martingale with respect to the risk-neutral probability measure are evaluated. In Chapter 3, the pricing of European options is addressed. After a brief summary of the theoretical basics on the Fourier transform, the methodology of Lewis (2001) is analyzed, then also applied to the 4/2 model. Finally, the numerical methods implemented in MATLAB for the pricing procedure are described and commented on, and related issues are discussed, especially related to the special functions Complex Gamma and Hypergeometric Confluent. In Chapter 4, the exact simulation scheme introduced by Grasselli for the 4/2 model, adapted from Broadie and Kaya's algorithm for the Heston model, is discussed, and in Chapter 5, conclusions related to the analysis of the 4/2 model are given and some future directions for study and research are outlined.

A partire dagli anni '90, nell'ambito della matematica finanziaria vengono sviluppati i cosiddetti modelli a volatilità stocastica, nei quali la volatilità dei titoli è descritta da un opportuno processo stocastico. Nel 2017 Grasselli introduce un nuovo modello a volatilità stocastica: il modello 4/2, che include come casi particolari i ben noti modelli di Heston e 3/2. Tale modello risulta matematicamente e numericamente trattabile, consentendo una procedura di pricing efficiente, per la quale sono stati adattati ed estesi alcuni risultati già noti della teoria delle simmetrie di Lie per le equazioni differenziali alla derivate parziali. In questa Tesi viene trattato lo studio del modello 4/2 così come è stato inizialmente introdotto da Grasselli. In particolare, l'analisi si concentra sulla procedura di pricing di opzioni finanziarie di tipo Europeo e sull'approfondimento delle caratteristiche principali del modello. Nel Capitolo 1 vengono brevemente illustrati pregi e difetti dei principali modelli d'interesse per questa Tesi: innanzitutto viene presentato il modello di Black e Scholes e, in seguito a un breve richiamo riguardo la teoria dei processi stocastici, sono introdotti come naturale miglioria i modelli di Heston e 3/2. Il modello 4/2 viene presentato nel Capitolo 2: dapprima sono analizzati i vari parametri che ne determinano la dinamica; successivamente, la proprietà di martingala del processo di prezzo scontato viene analizzata unitamente all'esistenza di un'opportuna misura di probabilità neutrale al rischio. Vengono perciò valutate le condizioni affinché il prezzo scontato del sottostante sia una martingala locale in senso stretto rispetto alla misura di probabilità neutrale al rischio. Nel Capitolo 3 viene affrontato il pricing di opzioni finanziarie di tipo Europeo. Dopo un breve riepilogo delle nozioni teoriche fondamentali sulla trasformata di Fourier, viene analizzata la metodologia di Lewis (2001), poi applicata anche al modello 4/2. Infine sono descritti e commentati i metodi numerici implementati in MATLAB per la procedura di pricing e vengono discusse le problematiche relative, in particolare legate alle funzioni speciali Gamma a valori complessi e Ipergeometrica Confluente. Nel Capitolo 4 si discute lo schema di simulazione esatta introdotto da Grasselli per il modello 4/2, adattato a partire dall'algoritmo di Broadie e Kaya per il modello di Heston, mentre nel Capitolo 5 sono riportate le conclusioni relative all'analisi del modello 4/2 e sono illustrate alcune future direzioni di studio e ricerca.