Gradient flow solutions to fractional diffusion equations

The theory of gradient flows, whose main result around existence and uniqueness is contained in the statement of the Brezis-Komura Theorem, provides powerful means of understanding and solving many diffusion equations. The focus of our work will be the study of the Fractional Fast Diffusion Equation and the Fractional Porous Medium Equation on bounded domains, interpreted as gradient flows in suitable Hilbert spaces. After having introduced the basic theory around the above-mentioned Fractional Diffusion Equations that is already present in literature, the aim of this work is to obtain some new results about the gradient flow solutions to the Cauchy-Dirichlet problem associated with the Fractional Porous Medium Equation as well as establish a link between the nonnegative gradient flow solutions and another important class of solutions, known as weak dual solutions. The strategies adopted to prove our original results are modeled after the ones that have already been used in literature to show analogous results concerning the solutions to the Cauchy-Dirichlet problem associated with the Fractional Fast Diffusion Equation.

La teoria dei gradient flows, il cui risultato principale riguardo all’esistenza e unicità è contenuto nell’enunciato del Teorema di Brezis-Komura, fornisce potenti mezzi per capire e risolvere svariate equazioni di diffusione. Il fulcro del nostro lavoro sarà lo studio della Fractional Fast Diffusion Equation e della Fractional Porous Medium Equation su domini limitati, interpretate come gradient flows in opportuni spazi di Hilbert. Dopo aver introdotto la teoria di base circa le sopra-menzionate Fractional Diffusion Equations - già presente in letteratura, lo scopo di questo lavoro è quello di ottenerne alcuni nuovi risultati sulle soluzioni di gradient flow del problema di Cauchy-Dirichlet associato alla Fractional Porous Medium Equation e stabilire un collegamento tra le soluzioni di gradient flow non-negative e un'altra importante classe di soluzioni, note come weak dual solutions. Le strategie adottate per dimostrare i nostri risultati originali sono modellate su quelle che sono già state utilizzate in letteratura per mostrare analoghi risultati riguardanti le soluzioni del Problema di Cauchy-Dirichlet associato alla Fractional Fast Diffusion Equation.