Modellazione della matrice fibrillare di collagene distribuita con densità di probabilità continua all'interno della cartilagine articolare umana

During the past 20 years, many experimental works [2, 8] and theoretical models [1, 10] have been developed in order to analyse mechanics and structure of articular cartilage (AC). Concentrating on non linear elastic properties of AC solid phase, formed by a Collagen matrix (COL) and a Proteoglican gel (PG), with the present work we aim to represent the real tridimensional structure of COL matrix differently from what discrete models did [10], introducing here a continuous ellipsoidal probability density function which is able to describe the distribution of the COL fibrils in every single AC zone (superficial, intermediate, deep) and the asimmetry between tension and compression mechanical response of the tissue (bimodularity). In order to respect the histology and the mechanics of AC [2, 8], structural parameters characterizing the ellipsoidal density function were optimized by an iterative process for each AC zone; the constitutive law of AC solid matrix (SM) was then characterized by the optimized continuous ellipsoidal density function and it was implemented within a specific UMAT subroutine. A finite element solid model with a cubic geometry and material properties defined in UMAT was realized in ABAQUS® and it was subjected to uniaxial tension (UT) and unconfined compression (UCC) numerical tests for each AC zone. Stress/strain and Poisson modulus (as a negative ratio between axial and transverse deformation) values were extracted from each test and they were quantitatively and graphically compared to experimental measurements [2, 8] and to results obtained by Ateshian [1]. This comparison indicates that the present model respects bimodular behaviour of COL matrix and it also presents stress and Poisson modulus maximum values coherent with the experimental literature [2, 8]; furthermore, the model is able to predict the experimentally measured SM Poisson modulus better than the results obtained by Ateshian [1].

Nel corso degli ultimi vent’anni sono state analizzate le proprietà meccaniche e strutturali della cartilagine articolare (AC) attraverso studi di caratterizzazione sperimentale [2, 8] e modelli teorici predittivi [1, 10]. Focalizzando l’attenzione sulle proprietà elastiche non lineari della fase solida di AC, costituita da una matrice di Collagene (COL) e da un gel di Proteoglicani (PG), il presente lavoro si pone l’obiettivo di rappresentare la reale struttura tridimensionale della matrice di COL, a differenza di quanto ottenuto dai precedenti modelli discreti [10], tramite una funzione densità di probabilità continua dalla conformazione ellissoidale nello spazio Euclideo, in grado di rappresentare la distribuzione delle fibrille di COL in ciascuno strato di AC (superficiale, intermedio, profondo) e l’asimmetria tra la risposta meccanica a sollecitazioni di trazione e la risposta a sollecitazioni di compressione (comportamento bimodulare). Tramite un procedimento iterativo sono stati ottimizzati i parametri strutturali della funzione per ciascuno strato di AC, in modo che la matrice di COL modellata rispetti le evidenze istologiche e la meccanica del tessuto misurata sperimentalmente [2, 8]. A tale scopo, il legame costitutivo della matrice solida di AC (SM), caratterizzato dalla funzione densità di probabilità continua ellissoidale ottimizzata, è stato sviluppato all’interno di una subroutine UMAT opportunamente ideata ed è stato associato ad un modello solido rappresentativo di AC, realizzato tramite codice agli elementi finiti (ABAQUS®) con geometria elementare cubica. Sono state quindi simulate prove di trazione monoassiale (UT) e compressione non confinata (UCC) in controllo di spostamento sul modello cubico, variando la conformazione della funzione ellissoidale a seconda dello strato di AC analizzato e, in seguito, si sono estratti i valori di sforzo/deformazione e del coefficiente di Poisson (inteso come rapporto tra deformazione assiale e trasversale a meno di segno). Il confronto con i risultati sperimentali e quelli teorici di Ateshian confermano che il presente modello rispetta la bimodularità della matrice di COL e presenta dei valori di sforzo e coefficiente di Poisson massimi coerenti con le misurazioni sperimentali, fornendo peraltro una predizione più veritiera dei valori del coefficiente di Poisson rispetto a quanto proposto da Ateshian.