Rappresentazioni indecomponibili di algebre di Lie non semplici

We study new classes of finite dimensional indecomposable representations of non simple Lie algebras, first focusing on particular Lie algebras which play a role in Geometry and Theoretical Physics: the Lie algebra e(2) i.e., the Lie algebra of the Euclidean motions in the plane, the Diamond Lie algebra a solvable four dimensional Lie algebra which can be viewed as the central extension of the Poincare Lie algebra in two dimension and the Lie algebra e(3) (the Lie algebra of the Euclidean motions in the space which can viewed as a truncated current Lie algebras); and then presenting some general results. Such indecomposable representations are been obtained embedding the non simple Lie algebras either in simple Lie algebras or in truncated current Lie Algebras. More precisely we have investigated the restrictions to them of the irreducible finite dimensional representations of the simple Lie algebras sl(2,C), sl(3,C), sp(4,C) showing that they remains indecomposable showing that they give rise to know classes of indecomposable representations. Such investigations have lead us to construct construct adapted basis of Littelmann type for the finite dimensional representations of the simple Lie Algebras sl(3,C) e sl(4,C) , which can be extended to any simple Lie algebra of type A. As a consequence of this latter result we have been able to construct indecomposable representations of wide classes of solvable Lie algebras.

L’elaborato verte sullo studio dei gruppi e delle algebre di Lie, che viene considerato uno degli argomenti centrali della matematica, presente in quasi tutti i suoi campi dall’algebra alla geometria,dall’analisi alla fisica matematica. Trova inoltre applicazione nella fisica teorica e in ambito ingegneristico. Limitandosi alle algebre di Lie finito dimensionali molti problemi sono ancora aperti ma forse il problema più importante tra i tanti che propongono sviluppi di ricerca è la classificazione di rappresentazioni unitarie. Con il lavoro della tesi si intende dare un contributo in questa direzione. In particolare sono state costruite rappresentazioni indecomponibili finito dimensionali di algebre non semplici, l’algebra risolubile e(2) delle trasformazioni rigide nel piano, l’algebra Diamante che risulta essere un’algebra risolubile 4-dimensionale, che può essere vista come estensione centrale dell’algebra di Poincarè in due dimensioni e l’algebra delle trasformazioni rigide nel piano e(3) che è il prodotto semidiretto dell’algebra so(3) e dell’algebra abeliana 3-dimensionale. E’ stata inoltre costruita una nuova base adattata per le rappresentazioni finito-dimensionali delle algebre di Lie semplici sl(3,C) e sl(4,C) che trova applicazioni nello studio delle rappresentazioni delle algebre risolubili.