A critical analysis of FEM solver for option pricing in Lévy models

The effort to successfully combine advanced techniques from both mathematical finance and numerical analysis has motivated researchers to create rapid deterministic methods for option pricing. This research has led to the development of highly efficient algorithms for computing option prices in Lévy models through the solution of partial integro-differential equations (PIDEs). This thesis focuses on the implementation of one of these algorithms, namely the FEM Solver, for pricing Vanilla Option in the Lévy model framework proposed in the paper "A Flexible Galerkin Scheme for Option Pricing in Lévy Models" of Gaß and Glau and the verification of its result, in particular the L^2-norm error convergence. The necessity of high precision in the numerical computation of the quantities that appear in the PIDE is at the core and it is the main reason for which the authors have proposed the solver. The principal tool that they employ is the symbol method and it enables them to switch to the Fourier transform field and to make the solver flexible and reusable for different kinds of Lévy models, both of Finite and Infinite activity. We thus investigate both theoretically and numerically the FEM Solver and we implement it using the Discrete Fourier Transform to ensure precision and speed in the computations. Thanks to this choice, we are able to use established results about approximations in the Fourier space that allow to control the error introduced by numerical integration and by truncation. Indeed, our search for precision in calculations has motivated us to examine the numerical errors associated with all quantities involved in the algorithm and, unlike in the paper , we have not confined our error analysis solely to the Stiffness matrix. Finally an error analysis is conducted to verify the theoretical result presented and adapted in the paper and empirical studies for the Black-Scholes, Merton, NIG, and CGMY models test the numerical feasibility of the tool.

Il tentativo di combinare con successo tecniche sofisticate sia dalla finanza matematica che dall'analisi numerica ha spinto i ricercatori a sviluppare metodi deterministici rapidi per la determinazione dei prezzi delle opzioni. Questa ricerca ha portato allo sviluppo di algoritmi altamente efficienti per il calcolo dei prezzi delle opzioni nei modelli Lévy attraverso la soluzione di equazioni alle differenze integro-differenziali (PIDE). Questa tesi si concentra sull'implementazione di uno di questi algoritmi, in particolare il Risolutore FEM, per la determinazione del prezzo di opzioni Vanilla nel contesto dei modelli Lévy proposti nel paper "A Flexible Galerkin Scheme for Option Pricing in Lévy Models" di Gaß e Glau, e sulla verifica del suo risultato, in particolare la convergenza dell'errore in norma L^2. La necessità di alta precisione nel calcolo numerico delle quantità che compaiono nella PIDE è al centro e rappresenta la principale ragione per cui gli autori hanno proposto il risolutore. Lo strumento principale che impiegano è il metodo del simbolo, che consente loro di passare al dominio della trasformata di Fourier e di rendere il risolutore flessibile e riutilizzabile per diversi tipi di modelli Lévy, sia ad attività finita che infinita. Quindi investighiamo sia dal punto di vista teorico che numerico il Risolutore FEM e lo implementiamo utilizzando la Trasformata Discreta di Fourier per garantirne precisione e velocità nei calcoli. Grazie a questa scelta siamo in grado di utilizzare risultati consolidati riguardo alle approssimazioni nello spazio di Fourier che consentono di controllare l'errore introdotto dall'integrazione numerica e dal troncamento. Infatti la nostra ricerca di precisione nei calcoli ci ha spinto ad esaminare gli errori numerici associati a tutte le quantità coinvolte nell'algoritmo e, a differenza del paper, non abbiamo limitato la nostra analisi dell'errore esclusivamente alla matrice di rigidità. Infine viene condotta un'analisi dell'errore per verificare il risultato teorico presentato ed adattato nel paper e studi empirici per i modelli Black-Scholes, Merton, NIG e CGMY testano la fattibilità numerica del risolutore.