Transport of matter in Discrete Fracture Networks

The objectives of the thesis consist in the modelling of the advective transport of matter in fractured porous media, its resolution through the analysis and the implementation of a numerical method and the validation of the implemented software module. Following these objectives, fractures are explicitly represented through Discrete Fracture Network (DFN) models, assuming impermeable matrix and permeable fractures, hence neglecting the flow in the matrix. Moreover, it is assumed that the width of the fractures is significantly smaller than their length scale, for this reason fractures are represented as two dimensional surfaces. The velocity field in the DFN is a data computed with the mixed hybrid finite element methods. Then the continuous transport problem is derived by doing an average of the advection equation along the fractures’ width. At each intersection a new unknown c_(Σ_k ) is added and it is used as the upwind concentration for the unknown concentration values at the intersection where inflow normal fluxes are assigned. Moreover, to ensure mass conservation at the intersection, a transmission condition of null sum of normal fluxes is added at each intersection. For the numerical resolution, a conforming mesh is used to discretize the fractures. Then, the finite volume method is employed for the numerical discretization of the equations in space, while the forward Euler method is adopted for the time discretization. The analysis of the numerical method is performed by studying the properties of conservation and monotonicity where a stability condition is deduced for the forward Euler scheme. Then the numerical scheme is implemented on a new software module in MATLAB. An error analysis is performed for a network of two intersecting fractures where the exact solution is computed through the method of characteristics. The evolution in time and in space of the exact and the numerical solutions are compared and the errors in the L^∞([0, T]; L^1 (Ω)) norm are computed for twelve refinements of the mesh, obtaining an order of convergence equal to h^(1/2). The results obtained and the computed orders of convergence agree with the theory in literature. The code is further validated on four other test cases where the fracture networks are stochastically generated.

La tesi si pone come obiettivi la modellizzazione del trasporto di sostanze in materiali porosi fratturati, la risoluzione del problema attraverso un metodo numerico, l’analisi e l’implementazione dello schema numerico e la validazione del codice. Le fratture sono rappresentate esplicitamente attraverso un modello DFN, assumendo che siano permeabili e che si trovino in una matrice impermeabile, dove il flusso viene trascurato. Inoltre lo spessore delle fratture è considerato molto minore rispetto alla loro lunghezza, di conseguenza le fratture vengono modellizzate come superfici 2-dimensionali in un dominio 3-dimensionale. Il campo di velocità utilizzato per la risoluzione numerica dell’equazione del trasporto è un dato ottenuto attraverso la risoluzione delle equazioni del flusso con il metodo degli elementi finiti misti ibridi. Per derivare il problema continuo del trasporto nel modello ridotto, l’equazione viene proiettata lungo le direzioni normale e tangenziale ed è integrata lungo lo spessore della frattura. Inoltre, ad ogni intersezione una nuova incognita c_(Σ_k ) viene aggiunta e funge da concentrazione upwind per le concentrazioni corrispondenti a flussi inflow all’intersezione. In aggiunta, per assicurare la conservazione della massa all’intersezione, la condizione di somma nulla dei flussi normali viene imposta ad ogni intersezione. Per la risoluzione numerica una mesh conforme è utilizzata per discretizzare le fratture. Inoltre il metodo dei volumi finiti viene utilizzato per la discretizzazione in spazio e il metodo di Eulero esplicito viene adoperato per la discretizzazione in tempo. Le proprietà di conservazione e di monotonia degli schemi numerici sono studiate ed una condizione di stabilità per lo schema esplicito in tempo è dedotta. In seguito, lo schema numerico è implementato su MATLAB. L’analisi dell’errore su un caso test con due fratture intersecanti viene effettuata calcolando la soluzione esatta attraverso il metodo delle caratteristiche. Le evoluzioni in tempo e spazio della soluzione esatta e numerica sono paragonate e gli errori in norma L^∞([0, T]; L^1 (Ω)) sono calcolati su 12 raffinamenti della mesh, ottenendo un ordine di convergenza pari a h^(1/2). I risultati ottenuti e gli ordini di convergenza calcolati mostrano conformità con la teoria nella letteratura. Il codice è ulteriormente convalidato attraverso altri quattro casi test dove per i modelli più complessi le reti di fratture sono generate stocasticamente.