Start-up waves in ideal and non-ideal compressible flow simulations

The application of shock-capturing numerical schemes to systems of conservation laws is not supported by the theoretical results that are established for the scalar case only. In particular, there is no guarantee that numerical schemes preserving the monotonicity of the solution, the cornerstone upon which both first-order and high-resolution schemes are based, are applicable to systems of conservation law, even in one dimension. Indeed, diverse examples of the failure of well-established first-order and TVD schemes are available. A notable example is given by the very simple case of an initial discontinuity propagating in one dimension. Even if the initial discontinuity corresponds to the exact solution of a single shock wave, oscillations - termed start-up waves - are generated by all shock capturing schemes as the shock settles into its numerical viscous profile. In this thesis, start-up waves are studied for one-dimensional compressible flows in both ideal and non-ideal thermodynamic states. Non-ideal thermodynamic conditions in the proximity of the liquid-vapour saturation curve and critical point are modelled by the simple van der Waals equation of state under the assumption of constant specific heat at constant volume. Numerical simulations are carried out on simple one-dimensional problems using both a Godunov scheme, the Roe scheme, and the Davis scheme. Numerical experiments show that for the ideal, dilute gas case, two start-up waves are generated from an initial single shock wave. These are shown to correspond to a contact surface and an acoustic wave of the family opposed to the one pertaining to the shock. If the initial discontinuity is a contact discontinuity, no start-up waves are observed. In the non-ideal case, a similar outcome is observed for shock waves. Differently from the ideal case, contact discontinuities produce two start-up waves, one for each acoustic field, moving away from the contact discontinuity in both directions. This empirical observation is explained by the non-linearity of the jump relations across a contact discontinuity in the non-ideal cases, whereby a linear relation exists linking conservative variables across a contact discontinuity in the ideal regime

L'applicazione degli schemi numerici shock-capturing a sistemi di leggi di conservazione non è supportata dai risultati teorici, che sono dimostrati solo per il caso scalare. In particolare, non vi è alcuna garanzia che gli schemi numerici che preservano la monotonicità della soluzione, la pietra angolare su cui si basano sia gli schemi del primo ordine sia quelli ad alta risoluzione, siano applicabili ai sistemi di leggi di conservazione, anche in una dimensione. In effetti, sono disponibili diversi esempi di fallimento di schemi del primo ordine e TVD ben consolidati. Un esempio notevole è dato dal caso molto semplice di una discontinuità iniziale che si propaga in una dimensione. Anche se la discontinuità iniziale corrisponde alla soluzione esatta di una singola onda d'urto, delle oscillazioni - dette onde di avviamento - vengono generate da tutti gli schemi shock-capturing mentre la discontinuità iniziale si assesta nel suo profilo numerico viscoso. In questa tesi vengono studiate le onde di avviamento per flussi comprimibili monodimensionali in stati termodinamici ideali e non ideali. Le condizioni termodinamiche non ideali in prossimità della curva di saturazione liquido-vapore e del punto critico sono modellizzate dalla semplice equazione di stato di van der Waals sotto l'ipotesi per cui il calore specifico a volume costante sia costante. Le simulazioni numeriche sono effettuate su semplici problemi monodimensionali utilizzando sia uno schema di Godunov, lo schema di Roe, sia lo schema di Davis. Gli esperimenti numerici mostrano che, nel caso di un gas ideale e diluito, da una singola onda d'urto iniziale si generano due onde di avviamento. Si dimostra che queste corrispondono a una superficie di contatto e a un'onda acustica della famiglia opposta a quella dell'urto. Se la discontinuità iniziale è una discontinuità di contatto, non si osservano onde di avviamento. Nel caso non ideale, si osserva un risultato simile per le onde d'urto. Le discontinuità di contatto, diversamente da quanto accade nel caso ideale, producono due onde di avviamento, una per ogni campo acustico, che si allontanano dalla discontinuità di contatto in entrambe le direzioni. Questa osservazione empirica si spiega con la non linearità delle condizioni di salto attraverso una discontinuità di contatto nel caso non ideale, mentre per la stessa nel regime ideale esiste una relazione lineare tra le variabili conservative.