Rigidity of critical metrics of some quadratic curvature functionals

Canonical metrics on Riemannian manifolds are metrics that exhibit remarkable properties and a high degree of symmetry. A natural quest in Riemannian geometry is to capture the topology of a manifold through means of such canonical metrics. A typical way of building such objects is to look for them between the critical points of a curvature functional. In this regard, the present thesis investigated the case of a canonical metric emerging as a critical point of a quadratic curvature functional, under a sectional curvature condition, both extending a previous result by G. Catino and providing a new one. We have found that a critical metric for the mathfrak{F}_{t} functional, satisfying a curvature pinching condition of the form Sec > epsilon R, for a proper epsilon depending both on t and the dimension n of the manifold, is an Einstein metric. This, in dimension-four, forces the manifold to be either mathbb{S}^{4}, mathbb{CP}^{2} or mathbb{RP}^{4} with their standard metrics.

Le metriche canoniche su varietà Riemanniane sono metriche che presentano notevoli proprietà ed un alto grado di simmetria. Una naturale linea di ricerca in geometria Riemanniana è quella di dedurre le proprietà topologiche della varietà per mezzo di tali metriche canoniche. Un modo tipico di costruire tali oggetti è quello di studiare i punti critici di funzionali di curvatura. Inerentemente a ciò, la presente tesi investiga il caso di una metrica canonica emersa come punto critico di un funzionale di curvatura quadratico, vincolata a rispettare una condizione sulla sua curvatura sezionale. Questo ha portato sia ad estendere un risultato di G. Catino, che ad ottenerne uno originale. In particolare, abbiamo trovato che una metrica critica per il funzionale mathfrak{F}_{t} soddisfacente una condizione sulla curvatura della forma Sec > epsilon R, per un certo epsilon dipendente sia da t che dalla dimensione n della varietà, è una metrica di Einstein. Questo, in dimensione quattro, forza la varietà ad essere o mathbb{S}^{4}, o mathbb{CP}^{2} oppure mathbb{RP}^{4} con le rispettive metriche standard.